Какова площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды, если угол между боковым ребром и плоскостью

Kira

19

Для решения данной задачи нам понадобится знание о треугольниках и их свойствах.

Поскольку мы имеем дело с правильной треугольной пирамидой, основанием которой является правильный треугольник, боковые грани этой пирамиды также будут равнобедренными треугольниками со сторонами, равными сторонам основания. То есть, у нас есть равносторонний треугольник на основании и два равнобедренных треугольника на боковых гранях.

Мы знаем, что у второго треугольника, который является боковой гранью пирамиды, угол между его боковым ребром и плоскостью основания составляет 60°. Это означает, что у этого треугольника один из углов равен 60°. Так как в равнобедренном треугольнике боковые грани равны, то все углы равны между собой и составляют по 60°.

Следовательно, сечение этого треугольника плоскостью, параллельной его основанию, будет равнобедренным треугольником с углом 60°.

Итак, для решения задачи нам необходимо найти площадь одной боковой грани равнобедренного треугольника, с знанием радиуса окружности, описанной вокруг основания.

Найдем высоту равнобедренного треугольника:

Высота равнобедренного треугольника является медианой, проведенной к основанию и перпендикулярной ему. Заметим, что медиана также является биссектрисой и высотой, так как это равнобедренный треугольник.

Проведем медиану в нашем треугольнике. По свойству медианы, она делит основание на две равные части. Также из свойства правильного треугольника известно, что медиана является биссектрисой и перпендикулярна основанию, значит, угол между медианой и одной из сторон основания составляет 90°.

Обозначим высоту треугольника как \(h\) и сторону основания как \(a\). Тогда медиана будет равна \(\frac{{\sqrt{3}}}{2} a\), так как она является половиной высоты основания и равна половине стороны основания умноженной на \(\frac{{\sqrt{3}}}{2}\).

Теперь, из прямоугольного треугольника, образованного медианой, стороной основания и радиусом окружности, можем найти высоту по теореме Пифагора:

\((\frac{{\sqrt{3}}}{2} a)^2 = h^2 + r^2\), где \(r\) - радиус окружности, \(h\) - высота, \(a\) - сторона основания.

Так как в правильном треугольнике сторона основания равна \(2r\), получим:

\((\frac{{\sqrt{3}}}{2} a)^2 = h^2 + (2r)^2\)

\(\frac{{3a^2}}{4} = h^2 + 4r^2\)

\(h^2 = \frac{{3a^2}}{4} - 4r^2\)

Зная высоту, можем найти площадь боковой поверхности равнобедренного треугольника, используя формулу \(S = \frac{{1}{2}}ah\).

Так как равнобедренный треугольник имеет угол 60°, то его площадь будет равна половине площади основания, то есть \(\frac{{1}{2}}ah\).

Подставим найденное значение высоты и площади основания в формулу и получим выражение для площади боковой поверхности равнобедренного треугольника:

\(S = \frac{{1}{2}}a(\frac{{3a^2}}{4} - 4r^2)\)