Какова площадь боковой поверхности прямой призмы с основанием в форме прямоугольного треугольника, у которого катеты

Valentina

6

Конечно! Давайте решим задачу шаг за шагом.

Для начала, мы должны вспомнить формулу для площади боковой поверхности прямой призмы. Площадь боковой поверхности вычисляется по формуле:

\[ S_{\text{бок}} = \text{периметр основания} \times \text{высота} \]

В данной задаче основание прямой призмы имеет форму прямоугольного треугольника. Периметр прямоугольного треугольника можно вычислить, сложив длины всех его сторон.

Чтобы найти периметр основания, нужно сложить длины трех сторон треугольника: двух катетов и гипотенузы. В нашем случае, катеты равны 13 и 12 см. Чтобы найти гипотенузу, можем воспользоваться теоремой Пифагора. Так как у нас прямоугольный треугольник, то гипотенуза равна квадратному корню из суммы квадратов катетов.

Давайте найдем гипотенузу:

\[ c = \sqrt{a^2 + b^2} \]

где \( a \) и \( b \) - длины катетов, а \( c \) - гипотенуза.

Подставим значения катетов:

\[ c = \sqrt{13^2 + 12^2} \]

\[ c = \sqrt{169 + 144} \]

\[ c = \sqrt{313} \]

Теперь у нас все необходимые данные для вычисления периметра основания прямой призмы:

\[ \text{периметр} = 13 + 12 + \sqrt{313} \]

\[ \text{периметр} = 25 + \sqrt{313} \]

После вычисления периметра основания, нам нужно найти высоту прямой призмы. В данной задаче, высота не указана. Предположим, что высота равна 10 см.

Теперь, когда у нас есть периметр основания и высота, мы можем найти площадь боковой поверхности:

\[ S_{\text{бок}} = \text{периметр} \times \text{высота} \]

Подставим значения:

\[ S_{\text{бок}} = (25 + \sqrt{313}) \times 10 \]

\[ S_{\text{бок}} = 250 + 10\sqrt{313} \]

Ответ: площадь боковой поверхности прямой призмы равна \( 250 + 10\sqrt{313} \) квадратных сантиметров.

Теперь перейдем к второй части задачи - найдем полную поверхность этой призмы.

Полная поверхность прямой призмы состоит из боковой поверхности и двух оснований, которые имеют форму прямоугольных треугольников.

Чтобы найти площадь одного прямоугольного треугольника, воспользуемся формулой для площади треугольника:

\[ S_{\text{тр}} = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота} \]

В данном случае основание равно произведению катетов, а высота равна гипотенузе (как в предыдущем случае).

Площадь одного треугольника:

\[ S_{\text{тр}} = \frac{1}{2} \times (13 \times 12) \times \sqrt{313} \]

\[ S_{\text{тр}} = 78\sqrt{313} \]

Теперь, чтобы найти полную поверхность, нужно сложить боковую поверхность и удвоенную площадь одного треугольника:

\[ S_{\text{полн}} = S_{\text{бок}} + 2S_{\text{тр}} \]

Подставим значения:

\[ S_{\text{полн}} = 250 + 10\sqrt{313} + 2(78\sqrt{313}) \]

\[ S_{\text{полн}} = 250 + 10\sqrt{313} + 156\sqrt{313} \]

\[ S_{\text{полн}} = 250 + 166\sqrt{313} \]

Ответ: полная поверхность прямой призмы равна \( 250 + 166\sqrt{313} \) квадратных сантиметров.