Найдите угол между векторами →a и →b, если их длины одинаковы и векторы →a+→2b и →5a - →4b перпендикулярны

Zhuravl

45

Для решения данной задачи мы можем воспользоваться знаниями о скалярном произведении векторов. Скалярное произведение двух векторов определяется как произведение их длин на косинус угла между ними.

Пусть векторы \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\) имеют одинаковую длину \(|\overrightarrow{a}| = |\overrightarrow{b}|\). Также, мы знаем, что векторы \(\overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b}\) и \(5\overrightarrow{a} - 4\overrightarrow{b}\) перпендикулярны друг другу.

Мы можем использовать это условие перпендикулярности, чтобы записать уравнение:

\(\left(\overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b}\right) \cdot \left(5\overrightarrow{a} - 4\overrightarrow{b}\right) = 0\)

Воспользуемся свойствами скалярного произведения для раскрытия скобок и упростим это уравнение:

\(5\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a} - 4\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b} + 10\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{a} - 8\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{b} = 0\)

Так как длины векторов равны, мы можем заменить скалярное произведение вида \(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{b}\) их квадратами:

\(5|\overrightarrow{a}|^2 - 4\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b} + 10\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{a} - 8|\overrightarrow{b}|^2 = 0\)

Так как длины векторов равны, давайте обозначим их за \(k\):

\(5k^2 - 4\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b} + 10\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{a} - 8k^2 = 0\)

Упростим это уравнение:

\(-3k^2 - 4\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b} + 10\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{a} = 0\)

Заметим, что векторное произведение коммутативно, то есть \(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b} = \overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{a}\). Мы можем воспользоваться этим свойством:

\(-3k^2 + 6\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b} = 0\)

Теперь мы можем найти скалярное произведение \(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\):

\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b} = \frac{3k^2}{6}\)

Подставим это значение обратно в первое уравнение:

\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b} = \frac{k^2}{2}\)

Теперь мы можем найти значение угла между векторами \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\). Для этого воспользуемся свойствами скалярного произведения и его геометрической интерпретации:

\(\cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}\)

\(\cos(\theta) = \frac{\frac{k^2}{2}}{k^2}\)

\(\cos(\theta) = \frac{1}{2}\)

Теперь найдем значение угла \(\theta\):

\(\theta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)\)

\(\theta = \frac{\pi}{3}\) или \(\theta = 60^\circ\)

Таким образом, угол между векторами \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\), при условии что их длины одинаковы и векторы \(\overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b}\) и \(5\overrightarrow{a} - 4\overrightarrow{b}\) перпендикулярны, равен \(60^\circ\) или \(\frac{\pi}{3}\).