Какова площадь части квадрата, которая находится снаружи вписанной окружности в правильном треугольнике с периметром

  • 22
Какова площадь части квадрата, которая находится снаружи вписанной окружности в правильном треугольнике с периметром 9√6 см и вокруг которой описан квадрат?
Solnechnyy_Zaychik
20
Конечно! Давайте решим эту задачу пошагово.

Первым шагом нам необходимо определить длину стороны правильного треугольника. Мы знаем, что периметр треугольника равен 9√6 см. Так как правильный треугольник имеет три равные стороны, то длина одной стороны равна периметру, делённому на 3:

\[ a = \frac{{9\sqrt{6}}}{{3}} = 3\sqrt{6} \, \text{см} \]

Теперь мы можем рассчитать радиус вписанной окружности. В равностороннем треугольнике, радиус вписанной окружности равен половине длины стороны треугольника:

\[ r = \frac{a}{2} = \frac{{3\sqrt{6}}}{2} \, \text{см} \]

Следующим шагом нам необходимо вычислить площадь круга, описанного вокруг этой окружности. Формула для площади круга выглядит следующим образом:

\[ S_{\text{круга}} = \pi \cdot r^2 \]

Подставим значение радиуса и вычислим площадь:

\[ S_{\text{круга}} = \pi \cdot \left(\frac{{3\sqrt{6}}}{2}\right)^2 \]

\[ S_{\text{круга}} = \pi \cdot \frac{{9 \cdot 6}}{4} = \frac{{54\pi}}{4} = \frac{{27\pi}}{2} \]

Теперь мы можем рассчитать площадь квадрата, описанного вокруг треугольника. Так как сторона квадрата равна длине стороны треугольника, мы можем использовать следующую формулу для площади квадрата:

\[ S_{\text{квадрата}} = a^2 \]

\[ S_{\text{квадрата}} = (3\sqrt{6})^2 \]

\[ S_{\text{квадрата}} = 9 \cdot 6 = 54 \, \text{см}^2 \]

Наконец, чтобы найти площадь части квадрата, которая находится снаружи вписанной окружности, мы вычтем площадь круга из площади квадрата:

\[ S_{\text{части квадрата}} = S_{\text{квадрата}} - S_{\text{круга}} \]

\[ S_{\text{части квадрата}} = 54 - \frac{{27\pi}}{2} \, \text{см}^2 \]

Таким образом, площадь части квадрата, которая находится снаружи вписанной окружности в правильном треугольнике, равна \(54 - \frac{{27\pi}}{2}\) квадратных сантиметров.