Какова площадь части квадрата, которая находится снаружи вписанной окружности в правильном треугольнике с периметром
Какова площадь части квадрата, которая находится снаружи вписанной окружности в правильном треугольнике с периметром 9√6 см и вокруг которой описан квадрат?
Solnechnyy_Zaychik 20
Конечно! Давайте решим эту задачу пошагово.Первым шагом нам необходимо определить длину стороны правильного треугольника. Мы знаем, что периметр треугольника равен 9√6 см. Так как правильный треугольник имеет три равные стороны, то длина одной стороны равна периметру, делённому на 3:
\[ a = \frac{{9\sqrt{6}}}{{3}} = 3\sqrt{6} \, \text{см} \]
Теперь мы можем рассчитать радиус вписанной окружности. В равностороннем треугольнике, радиус вписанной окружности равен половине длины стороны треугольника:
\[ r = \frac{a}{2} = \frac{{3\sqrt{6}}}{2} \, \text{см} \]
Следующим шагом нам необходимо вычислить площадь круга, описанного вокруг этой окружности. Формула для площади круга выглядит следующим образом:
\[ S_{\text{круга}} = \pi \cdot r^2 \]
Подставим значение радиуса и вычислим площадь:
\[ S_{\text{круга}} = \pi \cdot \left(\frac{{3\sqrt{6}}}{2}\right)^2 \]
\[ S_{\text{круга}} = \pi \cdot \frac{{9 \cdot 6}}{4} = \frac{{54\pi}}{4} = \frac{{27\pi}}{2} \]
Теперь мы можем рассчитать площадь квадрата, описанного вокруг треугольника. Так как сторона квадрата равна длине стороны треугольника, мы можем использовать следующую формулу для площади квадрата:
\[ S_{\text{квадрата}} = a^2 \]
\[ S_{\text{квадрата}} = (3\sqrt{6})^2 \]
\[ S_{\text{квадрата}} = 9 \cdot 6 = 54 \, \text{см}^2 \]
Наконец, чтобы найти площадь части квадрата, которая находится снаружи вписанной окружности, мы вычтем площадь круга из площади квадрата:
\[ S_{\text{части квадрата}} = S_{\text{квадрата}} - S_{\text{круга}} \]
\[ S_{\text{части квадрата}} = 54 - \frac{{27\pi}}{2} \, \text{см}^2 \]
Таким образом, площадь части квадрата, которая находится снаружи вписанной окружности в правильном треугольнике, равна \(54 - \frac{{27\pi}}{2}\) квадратных сантиметров.