Каков объём тела, полученного при повороте треугольника ABC вокруг оси ординат в заданной системе координат, если

Vintik

46

Для решения данной задачи нам необходимо использовать метод интегрирования по формуле цилиндра. Объем тела, полученного вращением фигуры вокруг оси, можно вычислить по следующей формуле:

\[V = \int_{a}^{b} A(x) \, dx\]

где \(A(x)\) - площадь поперечного сечения тела, полученного при повороте фигуры, \(a\) и \(b\) - пределы интегрирования по оси \(x\).

В нашем случае, треугольник ABC поворачивается вокруг оси ординат, поэтому пределы интегрирования будут составлять \(a = 2\) и \(b = 4\).

Для вычисления площади поперечного сечения на каждом значении \(x\), нам понадобятся координаты точек треугольника в зависимости от \(x\). Учитывая, что точки A и В имеют одинаковую ординату (3,8), а точка C имеет ординату 15,8, мы можем просто использовать ординату C в нашем выражении для \(A(x)\). Таким образом, мы получаем:

\[A(x) = 15.8 - x\]

Теперь мы можем вычислить объем тела, подставив значения в нашу формулу:

\[V = \int_{2}^{4} (15.8 - x) \, dx\]

Выполняя интегрирование, получаем:

\[V = \left[15.8x - \frac{x^2}{2}\right]_{2}^{4}\]

\[V = \left[15.8(4) - \frac{(4)^2}{2}\right] - \left[15.8(2) - \frac{(2)^2}{2}\right]\]

\[V = \left[63.2 - 8\right] - \left[31.6 - 2\right]\]

\[V = (55.2) - (29.6)\]

\[V = 25.6\]

Таким образом, объем тела, полученного при повороте треугольника ABC вокруг оси ординат, составляет 25.6 кубических единиц.