Какова площадь четырехугольника, образованного биссектрисами параллелограмма со сторонами 20 и 18 и углом 30°?

Тень_7129

27

Чтобы найти площадь четырехугольника, образованного биссектрисами параллелограмма, нам нужно следовать нескольким шагам.

Шаг 1: Найдите длину биссектрисы параллелограмма.
Для начала нам нужно найти длину одной из биссектрис параллелограмма. Известно, что биссектрисы делят углы параллелограмма на равные части. В данном случае, каждая биссектриса делит угол параллелограмма на два угла по 15°.

Мы можем использовать тригонометрическую функцию для нахождения длины одной из биссектрис. Воспользуемся формулой:

\[биссектриса = \frac{1}{2} \times \frac{{сторона_1 \times сторона_2}}{{\sqrt{{сторона_1^2 + сторона_2^2 - 2 \times сторона_1 \times сторона_2 \times \cos(угол)}}}}\]

Где:
\(сторона_1 = 20\) (длина одной стороны параллелограмма),
\(сторона_2 = 18\) (длина другой стороны параллелограмма),
\(угол = 30^\circ\) (значение угла параллелограмма).

Подставив значения в формулу, мы можем вычислить длину одной из биссектрис параллелограмма.

\[биссектриса = \frac{1}{2} \times \frac{{20 \times 18}}{{\sqrt{{20^2 + 18^2 - 2 \times 20 \times 18 \times \cos(30)}}}}\]

Вычисляя это значение, мы получаем:

\[биссектриса \approx 12.706\]

Заметим, что в данной задаче угол 30° важен только для нахождения длины биссектрисы. Он не используется при вычислении площади четырехугольника.

Шаг 2: Найдите площадь четырехугольника.
Теперь у нас есть длина одной из биссектрис параллелограмма. Чтобы найти площадь четырехугольника, мы можем использовать формулу для площади треугольника:

\[площадь треугольника = \frac{1}{2} \times основание \times высота\]

Поскольку четырехугольник образован биссектрисами параллелограмма, мы можем разделить его на два треугольника и найти площадь каждого из них. Затем мы складываем площади двух треугольников, чтобы получить площадь всего четырехугольника.

В нашем случае, оба треугольника будут равнобедренными треугольниками, поскольку биссектрисы делят углы параллелограмма пополам.

Если мы обозначим биссектрису как \(b\), то мы можем рассчитать площадь каждого из треугольников следующим образом:

\[площадь_треугольника = \frac{1}{2} \times b \times сторона\]

Где:
\(b = 12.706\) (длина биссектрисы),
\(сторона\) - длина одной из сторон параллелограмма.

Мы знаем, что сторона параллелограмма равна 20. Подставляя значения в формулу, мы получаем:

\[площадь_треугольника = \frac{1}{2} \times 12.706 \times 20\]

Вычисляя эту формулу, мы получаем:

\[площадь_треугольника \approx 127.06\]

Так как у нас два таких треугольника, площадь четырехугольника будет равна удвоенной площади одного из них:

\[площадь_четырехугольника = 2 \times площадь_треугольника\]

Подставляя значения, мы получаем:

\[площадь_четырехугольника = 2 \times 127.06\]

Вычисляя эту формулу, мы получаем:

\[площадь_четырехугольника \approx 254.12\]

Таким образом, площадь четырехугольника, образованного биссектрисами параллелограмма со сторонами 20 и 18 и углом 30°, составляет примерно 254.12 единицы площади.