Какова площадь фигуры, ограниченной графиком функции f(x) =4 - 0,6x^2, касательной к ней в точке с абсциссой x=-1

Schavel

69

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции \(f(x) = 4 - 0.6x^2\), касательной к ней в точке \(x = -1\), и прямой \(x = 1\), мы можем разделить эту фигуру на две части и найти площадь каждой из них.

Первая часть фигуры находится слева от прямой \(x = -1\) и ограничена графиком функции \(f(x)\), самой \(x = -1\), и осью \(x\). Чтобы найти площадь этой части, нам нужно вычислить определенный интеграл функции \(f(x)\) от наименьшего \(x\)-значения до \(x = -1\).

Определим наименьшее \(x\)-значение, при котором функция \(f(x)\) определена. В данном случае, функция определена при любом значении \(x\), поэтому мы можем считать наименьшее \(x\)-значение равным отрицательной бесконечности (отмечается символом \(-\infty\)).

Теперь мы можем записать определенный интеграл:

\[
\text{{Площадь первой части}} = \int_{-\infty}^{-1} f(x) \,dx
\]

Подставим функцию \(f(x)\) и решим этот интеграл:

\[
\text{{Площадь первой части}} = \int_{-\infty}^{-1} (4 - 0.6x^2) \,dx
\]

Упростим выражение под знаком интеграла:

\[
\text{{Площадь первой части}} = \left[4x - 0.2x^3\right]_{-\infty}^{-1}
\]

Теперь вычислим значение интеграла в пределах от \(-\infty\) до \(-1\):

\[
\text{{Площадь первой части}} = \left(4(-1) - 0.2(-1)^3\right) - \left(4(-\infty) - 0.2(-\infty)^3\right)
\]

Учитывая, что \(-\infty\) является бесконечностью, мы можем считать \(\left(4(-\infty) - 0.2(-\infty)^3\right)\) равным нулю.

\[
\text{{Площадь первой части}} = -4 + 0 - 4(-\infty) + 0 = -4
\]

Таким образом, площадь первой части фигуры равна \(-4\) (единицам квадратных).

Теперь перейдем ко второй части фигуры, которая находится между графиком функции \(f(x)\) и прямой \(x = 1\). Чтобы найти площадь этой части, мы также должны вычислить определенный интеграл от \(x = -1\) до \(x = 1\):

\[
\text{{Площадь второй части}} = \int_{-1}^{1} f(x) \,dx
\]

Подставим функцию \(f(x)\) и решим этот интеграл:

\[
\text{{Площадь второй части}} = \int_{-1}^{1} (4 - 0.6x^2) \,dx
\]

Упростим выражение под знаком интеграла:

\[
\text{{Площадь второй части}} = \left[4x - 0.2x^3\right]_{-1}^{1}
\]

Теперь вычислим значение интеграла в пределах от \(-1\) до \(1\):

\[
\text{{Площадь второй части}} = \left(4(1) - 0.2(1)^3\right) - \left(4(-1) - 0.2(-1)^3\right)
\]

\[
\text{{Площадь второй части}} = 4 - 0.2 - (-4 + 0.2) = 8.4
\]

Таким образом, площадь второй части фигуры равна \(8.4\) (единицам квадратных).

Наконец, чтобы найти площадь всей фигуры, мы складываем площади первой и второй частей:

\[
\text{{Площадь фигуры}} = \text{{Площадь первой части}} + \text{{Площадь второй части}} = -4 + 8.4 = 4.4
\]

Итак, площадь фигуры, ограниченной графиком функции \(f(x) = 4 - 0.6x^2\), касательной к ней в точке с абсциссой \(x = -1\) и прямой \(x = 1\), равна \(4.4\) (единицам квадратных).