Какова площадь фигуры, ограниченной кривой y=(2x-3)e^-x и горизонтальной асимптотой на интервале от 0 до положительной

Летучий_Демон

59

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной кривой \(y=(2x-3)e^{-x}\) и горизонтальной асимптотой, мы можем воспользоваться методом интегрирования. Давайте разобьем задачу на несколько шагов.

Шаг 1: Найдите точку пересечения кривой с горизонтальной асимптотой.
Для этого приравняем уравнение кривой к горизонтальной асимптоте, которая находится на высоте y=константа.
\( (2x-3)e^{-x} = \text{константа} \)
Так как горизонтальная асимптота бесконечно удалена в положительном направлении по оси x, то можно принять константу равной нулю.

\( (2x-3)e^{-x} = 0 \)
Решая это уравнение, получим x=3/2 (точка пересечения).

Шаг 2: Найдите пределы интегрирования.
Дано, что интервал от 0 до положительной бесконечности. Так как мы уже нашли точку пересечения с горизонтальной асимптотой, пределы интегрирования будут от 0 до точки пересечения (3/2).

Шаг 3: Найдите площадь фигуры, используя интеграл.
Формула для вычисления площади фигуры, ограниченной кривой y=f(x) и горизонтальными линиями y=a и y=b, где a и b - константы, заданные значениями y, имеет следующий вид:

\[ \text{Площадь} = \int_{a}^{b} |f(x)| \, dx \]

В данном случае у нас только верхняя граница, так как нижняя граница равна горизонтальной асимптоте.
Таким образом, площадь фигуры в данной задаче будет равна:

\[ \text{Площадь} = \int_{0}^{\frac{3}{2}} |(2x-3)e^{-x}| \, dx \]

Теперь нам нужно решить этот интеграл.

Шаг 4: Найдите интеграл.
Для нахождения интеграла, который содержит экспоненциальную и линейную функции, мы можем использовать метод интегрирования по частям или замену переменных. Используя метод интегрирования по частям, получим:

\[ \int (2x-3)e^{-x} \, dx = -(2x-5)e^{-x} \]

Теперь мы можем вычислить площадь фигуры:

\[ \text{Площадь} = \left|-(2x-5)e^{-x}\right| \Bigg|_0^{\frac{3}{2}} \]

Подставим границы интегрирования:

\[ \text{Площадь} = \left|-(2 \cdot \frac{3}{2}-5)e^{- \frac{3}{2}}\right| - \left|-(2 \cdot 0-5)e^0\right| \]

Выполним вычисления:

\[ \text{Площадь} = \left|-e^{- \frac{3}{2}}\right| + \left|-5e^0\right| \]

\[ \text{Площадь} = e^{- \frac{3}{2}} + 5 \]

\[ \text{Площадь} \approx 0.105 + 5 \]

\[ \text{Площадь \approx 5.105} \]

Ответ: Площадь фигуры, ограниченной кривой \(y=(2x-3)e^{-x}\) и горизонтальной асимптотой, на интервале от 0 до положительной бесконечности, приближенно равна 5.105.