Какова площадь фигуры, ограниченной кривой y=(2x-3)e^-x и горизонтальной асимптотой на интервале от 0 до положительной

Летучий_Демон

59

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной кривой $y=(2x-3)e^{-x}$ и горизонтальной асимптотой, мы можем воспользоваться методом интегрирования. Давайте разобьем задачу на несколько шагов.

Шаг 1: Найдите точку пересечения кривой с горизонтальной асимптотой.
Для этого приравняем уравнение кривой к горизонтальной асимптоте, которая находится на высоте y=константа.
$(2x-3)e^{-x}=\text{константа}$
Так как горизонтальная асимптота бесконечно удалена в положительном направлении по оси x, то можно принять константу равной нулю.

$(2x-3)e^{-x}=0$
Решая это уравнение, получим x=3/2 (точка пересечения).

Шаг 2: Найдите пределы интегрирования.
Дано, что интервал от 0 до положительной бесконечности. Так как мы уже нашли точку пересечения с горизонтальной асимптотой, пределы интегрирования будут от 0 до точки пересечения (3/2).

Шаг 3: Найдите площадь фигуры, используя интеграл.
Формула для вычисления площади фигуры, ограниченной кривой y=f(x) и горизонтальными линиями y=a и y=b, где a и b - константы, заданные значениями y, имеет следующий вид:

$$\text{Площадь}={\int }_a^b|f(x)|dx$$

В данном случае у нас только верхняя граница, так как нижняя граница равна горизонтальной асимптоте.
Таким образом, площадь фигуры в данной задаче будет равна:

$$\text{Площадь}={\int }_0^{\frac{3}{2}}|(2x-3)e^{-x}|dx$$

Теперь нам нужно решить этот интеграл.

Шаг 4: Найдите интеграл.
Для нахождения интеграла, который содержит экспоненциальную и линейную функции, мы можем использовать метод интегрирования по частям или замену переменных. Используя метод интегрирования по частям, получим:

$$\int (2x-3)e^{-x}dx=-(2x-5)e^{-x}$$

Теперь мы можем вычислить площадь фигуры:

$$\text{Площадь}=|-(2x-5)e^{-x}|{|}_0^{\frac{3}{2}}$$

Подставим границы интегрирования:

$$\text{Площадь}=|-(2\cdot \frac{3}{2}-5)e^{-\frac{3}{2}}|-|-(2\cdot 0-5)e^0|$$

Выполним вычисления:

$$\text{Площадь}=|-e^{-\frac{3}{2}}|+|-5e^0|$$

$$\text{Площадь}=e^{-\frac{3}{2}}+5$$

$$\text{Площадь}\approx 0.105+5$$

$$\text{Площадь approx 5.105}$$

Ответ: Площадь фигуры, ограниченной кривой $y=(2x-3)e^{-x}$ и горизонтальной асимптотой, на интервале от 0 до положительной бесконечности, приближенно равна 5.105.