Какова площадь кольца, образованного при вписывании окружности в правильный треугольник, который вписан в окружность

Аида

58

Чтобы решить эту задачу, давайте начнем с того, что разберемся с понятием "правильный треугольник". Правильный треугольник - это треугольник, у которого все стороны имеют одинаковую длину, а все углы равны 60 градусам.

По условию задачи, дана площадь этого треугольника, равная 9√3. Мы можем использовать формулу для площади правильного треугольника, которая выглядит следующим образом:

\[S = \frac{{a^2\sqrt{3}}}{{4}}\]

Где S - площадь треугольника, а a - длина его стороны.

Для удобства в дальнейшем давайте обозначим длину стороны треугольника как "s". Из формулы площади треугольника, мы можем сделать следующие выкладки:

\[9\sqrt{3} = \frac{{s^2\sqrt{3}}}{{4}}\]

Теперь давайте решим это уравнение относительно "s". Для этого умножим обе части уравнения на \(\frac{{4}}{{\sqrt{3}}}\):

\[9\sqrt{3} \times \frac{{4}}{{\sqrt{3}}} = \frac{{s^2\sqrt{3}}}{{4}} \times \frac{{4}}{{\sqrt{3}}}\]

\[36 = s^2\]

Теперь возьмем квадратный корень от обеих частей уравнения, чтобы выразить "s":

\[s = \sqrt{36}\]

\[s = 6\]

Таким образом, мы получили, что длина стороны правильного треугольника равна 6.

Теперь мы можем перейти к определению площади кольца, образованного при вписывании окружности в правильный треугольник.

Площадь кольца можно определить как разность площадей двух окружностей - внешней и внутренней, где внешняя окружность описывает правильный треугольник, а внутренняя окружность вписана в этот треугольник.

Радиус внешней окружности равен половине длины стороны треугольника, то есть \(r = \frac{{6}}{2} = 3\).

А радиус вписанной окружности равен половине высоты треугольника, исходя из равенства сторон и углов, высота равна \(h = \frac{{\sqrt{3}}{2}}{2} = \frac{{\sqrt{3}}}{4}\).

Теперь мы можем рассчитать площадь кольца, используя формулу для площади круга:

\[S_{\text{кольца}} = \pi R_{\text{внешнего}}^2 - \pi R_{\text{внутреннего}}^2\]

\[S_{\text{кольца}} = \pi \cdot 3^2 - \pi \cdot \left(\frac{{\sqrt{3}}}{4}\right)^2\]

Теперь давайте произведем несколько вычислений:

\[S_{\text{кольца}} = 9\pi - \frac{{3\pi}}{4}\]

\[S_{\text{кольца}} = \frac{{36\pi - 3\pi}}{4}\]

\[S_{\text{кольца}} = \frac{{33\pi}}{4}\]

Таким образом, площадь кольца, образованного при вписывании окружности в правильный треугольник, составляет \(\frac{{33\pi}}{4}\) или приблизительно 25.96 (если взять приближенное значение \(\pi \approx 3.14\)).