Какова площадь круга, описывающего около равнобедренного треугольника с основанием длиной 8 см и углом 120 градусов

Skazochnaya_Princessa

47

Чтобы найти площадь круга, описывающего около равнобедренного треугольника, нам понадобится некоторая информация о треугольнике. Первым шагом мы должны найти длину боковой стороны треугольника.

В данной задаче основание равнобедренного треугольника равно 8 см. Так как треугольник равнобедренный, то боковые стороны также равны. Мы можем разделить треугольник на два прямоугольных треугольника с диагональю основания в качестве гипотенузы и одной из боковых сторон в качестве катета. У нас уже есть угол при вершине равный 120 градусов.

Давайте найдем длину одной из боковых сторон треугольника, используя теорему косинусов. Теорема косинусов гласит:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C)\]

Где c - диагональ оснований, a и b - боковые стороны треугольника, C - угол при вершине.

Подставим известные значения в формулу:

\[c^2 = 8^2 + 8^2 - 2 \cdot 8 \cdot 8 \cdot \cos(120^\circ)\]

Вычислим значения:

\[c^2 = 64 + 64 - 128 \cdot \cos(120^\circ)\]

Мы знаем, что \(\cos(120^\circ) = -0.5\), поскольку это угол косинуса равен -0.5 в треугольнике с углом 120 градусов.

\[c^2 = 64 + 64 - 128 \cdot (-0.5)\]

\[c^2 = 128 + 64\]

\[c^2 = 192\]

Теперь найдем длину боковой стороны треугольника, возведя полученное значение в квадрат и извлекая корень:

\[c = \sqrt{192}\]

Мы получаем, что длина боковой стороны треугольника равна \(\sqrt{192}\) или приблизительно 13.86 см.

Теперь мы можем перейти к нахождению площади круга, описывающего около этого равнобедренного треугольника. Площадь круга вычисляется по формуле:

\[A = \pi r^2\]

Где A - площадь, \(\pi\) - число "пи" (приблизительно равно 3.14), а r - радиус круга.

Поскольку круг описывает треугольник, радиус круга будет равен половине длины боковой стороны треугольника:

\[r = \frac{c}{2}\]

\[r = \frac{\sqrt{192}}{2}\]

Теперь, найдя радиус, мы можем найти площадь круга:

\[A = \pi \left(\frac{\sqrt{192}}{2}\right)^2\]

\[A = \pi \cdot \frac{192}{4}\]

\[A = \pi \cdot 48\]

\[A \approx 3.14 \cdot 48\]

\[A \approx 150.72\]

Ответ: Площадь круга, описывающего около заданного равнобедренного треугольника, приблизительно равна 150.72 квадратным сантиметрам.