Какова площадь круга, описывающего около равнобедренного треугольника с основанием длиной 8 см и углом 120 градусов

Skazochnaya_Princessa

47

Чтобы найти площадь круга, описывающего около равнобедренного треугольника, нам понадобится некоторая информация о треугольнике. Первым шагом мы должны найти длину боковой стороны треугольника.

В данной задаче основание равнобедренного треугольника равно 8 см. Так как треугольник равнобедренный, то боковые стороны также равны. Мы можем разделить треугольник на два прямоугольных треугольника с диагональю основания в качестве гипотенузы и одной из боковых сторон в качестве катета. У нас уже есть угол при вершине равный 120 градусов.

Давайте найдем длину одной из боковых сторон треугольника, используя теорему косинусов. Теорема косинусов гласит:

$$c^2=a^2+b^2-2ab\cdot \cos (C)$$

Где c - диагональ оснований, a и b - боковые стороны треугольника, C - угол при вершине.

Подставим известные значения в формулу:

$$c^2=8^2+8^2-2\cdot 8\cdot 8\cdot \cos ({120}^{\circ })$$

Вычислим значения:

$$c^2=64+64-128\cdot \cos ({120}^{\circ })$$

Мы знаем, что $\cos ({120}^{\circ })=-0.5$, поскольку это угол косинуса равен -0.5 в треугольнике с углом 120 градусов.

$$c^2=64+64-128\cdot (-0.5)$$

$$c^2=128+64$$

$$c^2=192$$

Теперь найдем длину боковой стороны треугольника, возведя полученное значение в квадрат и извлекая корень:

$$c=\sqrt{192}$$

Мы получаем, что длина боковой стороны треугольника равна $\sqrt{192}$ или приблизительно 13.86 см.

Теперь мы можем перейти к нахождению площади круга, описывающего около этого равнобедренного треугольника. Площадь круга вычисляется по формуле:

$$A=\pi r^2$$

Где A - площадь, $\pi$ - число "пи" (приблизительно равно 3.14), а r - радиус круга.

Поскольку круг описывает треугольник, радиус круга будет равен половине длины боковой стороны треугольника:

$$r=\frac{c}{2}$$

$$r=\frac{\sqrt{192}}{2}$$

Теперь, найдя радиус, мы можем найти площадь круга:

$$A=\pi {\left(\frac{\sqrt{192}}{2}\right)}^2$$

$$A=\pi \cdot \frac{192}{4}$$

$$A=\pi \cdot 48$$

$$A\approx 3.14\cdot 48$$

$$A\approx 150.72$$

Ответ: Площадь круга, описывающего около заданного равнобедренного треугольника, приблизительно равна 150.72 квадратным сантиметрам.