Какова площадь кругового сектора, если его площадь составляет 5/9 от площади круга, а длина дуги сектора равна 10π?

Роза

66

Для решения этой задачи нам понадобятся формулы, связанные с площадью круга и длиной дуги. Начнем с площади круга.

Формула для площади круга:
\[ S_{\text{круга}} = \pi \cdot R^2 ,\]
где \( S_{\text{круга}}\) - площадь круга, а \( R \) - радиус круга.

Теперь рассмотрим формулу для площади сектора круга:
\[ S_{\text{сектора}} = \frac{{\theta}}{{360^\circ}} \cdot S_{\text{круга}} ,\]
где \( S_{\text{сектора}} \) - площадь сектора круга, а \( \theta \) - центральный угол, соответствующий дуге сектора.

У нас есть информация, что \( S_{\text{сектора}} \) составляет \( \frac{5}{9} \) от площади круга, а \( \theta \) равно \( 10\pi \). Мы можем записать это в виде уравнения:
\[ \frac{5}{9} S_{\text{круга}} = \frac{{10\pi}}{{360^\circ}} S_{\text{круга}} .\]

Для того чтобы найти площадь сектора, нам нужно найти площадь круга. Для этого мы подставим формулу площади круга в уравнение:
\[ \frac{5}{9} \pi R^2 = \frac{{10\pi}}{{360^\circ}} \pi R^2 .\]

Заметим, что \( \pi R^2 \) сокращается с \( \pi R^2 \), и мы получим следующее уравнение:
\[ \frac{5}{9} = \frac{{10\pi}}{{360^\circ}} .\]

Теперь решим это уравнение:
\[ \frac{5}{9} = \frac{{10\pi}}{{360^\circ}} .\]
Умножим обе стороны на \( 360^\circ \):
\[ 5 \cdot 360^\circ = 10\pi .\]
Раскроем скобки:
\[ 1800^\circ = 10\pi .\]
Разделим обе стороны на 10:
\[ 180^\circ = \pi .\]

Теперь мы знаем, что \( \pi = 180^\circ \). Подставим это значение обратно в уравнение для площади сектора:
\[ S_{\text{сектора}} = \frac{{10\pi}}{{360^\circ}} S_{\text{круга}} .\]
\[ S_{\text{сектора}} = \frac{{10 \cdot 180^\circ}}{{360^\circ}} S_{\text{круга}} .\]
\[ S_{\text{сектора}} = \frac{1}{2} S_{\text{круга}} .\]

Таким образом, площадь кругового сектора составляет половину площади круга. В данной задаче, площадь сектора равна \( \frac{1}{2} \) от площади круга, что равняется \( \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{9} = \frac{5}{18} \) от площади круга.