Какова площадь основания правильной четырехугольной пирамиды V A B C D, если она равна 144 см² и высота VO равна

Рак

30

Хорошо, давайте решим данную задачу по шагам.

Дано: площадь основания \(VABCD\) равна 144 см², высота \(VO\) равна 8 см.

Шаг 1: Найдем площадь боковой поверхности пирамиды.

Для этого нам понадобится площадь одной боковой грани. Правильная четырехугольная пирамида имеет четыре боковые грани. При этом каждая боковая грань является треугольником.

Так как дана площадь основания, можно найти длину стороны основания правильной четырехугольной пирамиды. Для этого воспользуемся формулой площади правильного четырехугольника:
\[S_{\text{осн.}} = \frac{a \cdot b}{2},\]
где \(a\) и \(b\) - длины сторон основания.

Так как пирамида правильная, длина всех сторон основания одинакова. Поэтому мы можем записать:
\[S_{\text{осн.}} = \frac{a^2}{2}.\]

Следовательно, для нахождения длины стороны основания \(a\), нам нужно решить квадратное уравнение:
\[\frac{a^2}{2} = 144.\]

Шаг 2: Решим квадратное уравнение.

Перенесем 144 влево:
\[\frac{a^2}{2} - 144 = 0.\]

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:
\[a^2 - 288 = 0.\]

Теперь решим квадратное уравнение:
\[a^2 = 288.\]

Извлекая квадратный корень, получим:
\[a = \sqrt{288}.\]

Находим значение стороны основания:
\[a \approx 16.97 \, \text{см}.\]

Шаг 3: Найдем площадь одной боковой грани пирамиды.

Для этого воспользуемся формулой для площади треугольника:
\[S_{\text{треуг.}} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}.\]

Так как основание треугольника - это сторона основания пирамиды, а высота - это высота пирамиды, мы можем записать:
\[S_{\text{треуг.}} = \frac{1}{2} \cdot 16.97 \, \text{см} \cdot 8 \, \text{см}.\]

Решаем уравнение:
\[S_{\text{треуг.}} \approx 67.88 \, \text{см}^2.\]

Так как у пирамиды четыре боковые грани, площадь боковой поверхности пирамиды будет:
\[S_{\text{бок.пов.}} = 67.88 \, \text{см}^2 \cdot 4 = 271.52 \, \text{см}^2.\]

Ответ: площадь боковой поверхности пирамиды равна 271.52 см².

Шаг 4: Найдем площадь полной поверхности пирамиды.

Площадь полной поверхности пирамиды складывается из площади основания и площади боковой поверхности.

Так как площадь боковой поверхности пирамиды уже найдена и равна 271.52 см², остается найти площадь основания и просуммировать их.

Площадь основания равна 144 см².

Площадь полной поверхности пирамиды:
\[S_{\text{полн.пов.}} = 271.52 \, \text{см}^2 + 144 \, \text{см}^2.\]

Решаем уравнение:
\[S_{\text{полн.пов.}} = 415.52 \, \text{см}^2.\]

Ответ: площадь полной поверхности пирамиды равна 415.52 см².

Шаг 5: Найдем объем пирамиды.

Объем пирамиды можно найти с использованием формулы:
\[V_{\text{пирам.}} = \frac{S_{\text{осн.}} \cdot h}{3},\]
где \(S_{\text{осн.}}\) - площадь основания, \(h\) - высота пирамиды.

Подставляем значения:
\[V_{\text{пирам.}} = \frac{144 \, \text{см}² \cdot 8 \, \text{см}}{3}.\]

Вычисляем:
\[V_{\text{пирам.}} = 384 \, \text{см}³.\]

Ответ: объем пирамиды равен 384 см³.

Таким образом, решив задачу по шагам, мы нашли:
а) площадь боковой поверхности пирамиды равна 271.52 см²,
б) площадь полной поверхности пирамиды равна 415.52 см²,
в) объем пирамиды равен 384 см³.