Какова площадь полной поверхности, если образующая конуса равна 12 см и угол между образующей и плоскостью основания

Хрусталь

10

Чтобы найти площадь полной поверхности конуса, нужно сложить площадь основания и площадь боковой поверхности. Для начала, давайте найдем площадь основания конуса.

Площадь основания конуса можно найти по формуле площади круга, так как основание конуса является кругом. Формула площади круга выглядит следующим образом:

\[S_{осн} = \pi \cdot r^2\]

где \(S_{осн}\) - площадь основания, \(\pi\) - математическая константа, приближенно равная 3.14, а \(r\) - радиус основания.

У нас нет информации о радиусе основания конуса. Однако, мы можем использовать образующую и угол между образующей и плоскостью основания для определения радиуса. Радиус можно найти, используя формулу:

\[r = \frac{{\text{{образующая}}}}{{2 \cdot \sin(\text{{угол}})}}\]

Теперь, когда у нас есть радиус основания, мы можем найти площадь основания, подставив значения в формулу:

\[S_{осн} = \pi \cdot (\frac{{\text{{образующая}}}}{{2 \cdot \sin(\text{{угол}})}})^2\]

Теперь давайте найдем площадь боковой поверхности конуса. Площадь боковой поверхности конуса можно найти по формуле:

\[S_{бок} = \pi \cdot r \cdot l\]

где \(S_{бок}\) - площадь боковой поверхности, \(r\) - радиус основания, а \(l\) - образующая.

Теперь мы знаем все значения, чтобы посчитать площадь полной поверхности конуса. Площадь полной поверхности конуса можно найти, сложив площадь основания и площадь боковой поверхности:

\[S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}\]

Подставив значения, получим итоговую формулу:

\[S_{полн} = \pi \cdot (\frac{{\text{{образующая}}}}{{2 \cdot \sin(\text{{угол}})}})^2 + \pi \cdot r \cdot l\]

Теперь, давайте вычислим значения и найдем площадь полной поверхности конуса. Подставим значения: \(\text{{образующая}} = 12 \, \text{{см}}\) и \(\text{{угол}} = 30^\circ\), зная, что \(\pi \approx 3.14\). Вычислим радиус основания по формуле:

\[r = \frac{{12}}{{2 \cdot \sin(30^\circ)}}\]

\[r = \frac{{12}}{{2 \cdot 0.5}}\]

\[r = 12\]

Теперь вычислим площадь основания конуса:

\[S_{осн} = 3.14 \cdot 12^2\]

\[S_{осн} = 3.14 \cdot 144\]

\[S_{осн} = 452.16 \, \text{{см}}^2\]

А теперь вычислим площадь боковой поверхности конуса:

\[S_{бок} = 3.14 \cdot 12 \cdot 12\]

\[S_{бок} = 3.14 \cdot 144\]

\[S_{бок} = 452.16 \, \text{{см}}^2\]

Наконец, найдем площадь полной поверхности конуса, сложив площадь основания и площадь боковой поверхности:

\[S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}\]

\[S_{полн} = 452.16 + 452.16\]

\[S_{полн} = 904.32 \, \text{{см}}^2\]

Итак, площадь полной поверхности конуса равна 904.32 \(\text{{см}}^2\).