Какова площадь полной поверхности конуса, у которого образующая наклонена к плоскости основания под углом 60°, а

Цветочек

67

Чтобы найти площадь полной поверхности конуса, нам понадобятся два параметра: радиус основания \(r\) и образующая конуса \(l\).

Для начала найдем радиус основания конуса. Дано, что в его основание вписан треугольник с одной стороной длиной 8 см и противолежащим углом равным 30°. Это означает, что сторона треугольника равна радиусу основания конуса. Обозначим радиус как \(r\).

Используя формулу прямоугольного треугольника, где противолежащий катет равен половине гипотенузы умноженной на \(\sqrt{3}\), найдем значение \(r\):

\[
8 = r \cdot \sqrt{3}
\]

Для решения уравнения, разделим обе части на \(\sqrt{3}\) и найдем:

\[
r = \frac{8}{\sqrt{3}}
\]

Теперь перейдем к нахождению образующей конуса \(l\). Дано, что образующая наклонена к плоскости основания под углом 60°. Так как у нас имеется прямоугольный треугольник, то образующая является гипотенузой треугольника. Обозначим образующую как \(l\).

Используя тригонометрическую функцию синуса, связанную с прямоугольным треугольником, найдем значение \(l\):

\[
\sin(60^\circ) = \frac{l}{r}
\]

Подставляем значение радиуса \(r\) и находим:

\[
\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{l}{\frac{8}{\sqrt{3}}}
\]

Чтобы найти \(l\), умножим обе части уравнения на \(\frac{8}{\sqrt{3}}\):

\[
l = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{8}{\sqrt{3}} = 4
\]

Итак, мы получили, что радиус основания \(r\) равен \(\frac{8}{\sqrt{3}}\), а образующая конуса \(l\) равна 4.

Теперь, когда у нас есть значения \(r\) и \(l\), можем найти площадь полной поверхности конуса, используя формулу:

\[
S = \pi r (r + l)
\]

Подставляем найденные значения:

\[
S = \pi \cdot \frac{8}{\sqrt{3}} \left(\frac{8}{\sqrt{3}} + 4\right)
\]

Для упрощения расчетов, оставим значение \(\pi\) в десятичном виде и решим:

\[
S \approx 3.14 \cdot \frac{8}{\sqrt{3}} \left(\frac{8}{\sqrt{3}} + 4\right) \approx 3.14 \cdot \frac{8}{\sqrt{3}} \cdot \frac{8 + 4\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \approx 3.14 \cdot \frac{8(8 + 4\sqrt{3})}{3} \approx 107.89
\]

Таким образом, площадь полной поверхности данного конуса составляет примерно 107.89 квадратных сантиметров.