Какова площадь полной поверхности прямой призмы с высотой h, основанной на равнобедренной трапеции с острым углом

Чудесный_Король_1429

44

Для решения этой задачи нам понадобится знание формулы для площади поверхности прямоугольной призмы. Площадь полной поверхности прямоугольной призмы можно вычислить, сложив площади всех ее сторон.

1. Начнем с определения размеров основы трапеции. Пусть основание трапеции, которое больше, равно a см, а другое основание равно b см.

2. Определим среднюю линию трапеции. Средняя линия равна сумме длин оснований, деленной на 2. Обозначим ее как см.

\[\text{Средняя линия: } \frac{a + b}{2} = c \text{ см}\]

3. Поскольку данная трапеция является равнобедренной и имеет острый угол 45 градусов, мы можем применить свойства равнобедренных трапеций и построить прямоугольный треугольник.

4. Возьмем половину средней линии и обозначим ее как \(l\). Тогда \(l = \frac{c}{2}\) см.

5. Согласно теореме Пифагора, у нас есть следующее соотношение:

\[l^2 + h^2 = a^2\]
\[\left(\frac{c}{2}\right)^2 + h^2 = a^2\]

6. Теперь выразим \(h\) через \(a\) и \(c\):

\[h^2 = a^2 - \left(\frac{c}{2}\right)^2\]
\[h^2 = a^2 - \frac{c^2}{4}\]
\[h^2 = \frac{4a^2 - c^2}{4}\]
\[h = \sqrt{\frac{4a^2 - c^2}{4}}\]
\[h = \frac{\sqrt{4a^2 - c^2}}{2}\]

7. Зная размеры основы и высоту, мы можем теперь вычислить площадь поверхности каждой грани прямой призмы.

Площадь основы прямой призмы равна площади трапеции:
\[S_{\text{основы}} = \frac{(a + b)h}{2} \text{ см}^2\]

Площадь боковой поверхности прямой призмы равна сумме площадей всех ее сторон:
\[S_{\text{бок}} = a\sqrt{\left(\frac{c}{2}\right)^2 + h^2} + b\sqrt{\left(\frac{c}{2}\right)^2 + h^2} + ah + bh \text{ см}^2\]

8. Наконец, площадь полной поверхности прямой призмы равна сумме площадей основы и боковой поверхности:
\[S_{\text{полная}} = S_{\text{основы}} + S_{\text{бок}} \text{ см}^2\]

Таким образом, площадь полной поверхности прямой призмы с высотой \(h\), основанной на равнобедренной трапеции с острым углом 45 градусов, одно основание которой больше другого на 6 см, а средняя линия равна \(c\) см, будет равна \(S_{\text{полная}}\) (выражение из пункта 8).