Какова площадь поверхности шара с объемом 256п/3?

Елизавета

24

Хорошо, чтобы найти площадь поверхности шара, нам необходимо знать его объем. В данной задаче нам уже дан объем шара, который равен \(\frac{{256\pi}}{{3}}\).

Формула для объема шара в терминах его радиуса \(r\) выглядит следующим образом:

\[
V = \frac{{4}{\pi} r^3
\]

Так как нам дано значение объема, мы можем решить данное уравнение относительно радиуса шара \(r\):

\[
\frac{{256\pi}}{{3}} = \frac{{4\pi r^3}}{{3}}
\]

Для начала, давайте избавимся от ненужного делителя 3 в левой части уравнения, умножив обе части уравнения на \(\frac{3}{\pi}\):

\[
\frac{{256\pi}}{{3}} \cdot \frac{{3}}{{\pi}} = \frac{{4\pi r^3}}{{3}} \cdot \frac{{3}}{{\pi}}
\]

Упростив выражение получим:

\[
256 = 4 r^3
\]

Теперь, чтобы найти значение радиуса \(r\), давайте разделим обе части уравнения на 4:

\[
\frac{{256}}{{4}} = \frac{{4 r^3}}{{4}}
\]

Упростив дальше, получим:

\[
64 = r^3
\]

Чтобы выразить радиус, возведем обе части уравнения в степень \(\frac{{1}}{{3}}\):

\[
\sqrt[3]{{64}} = \sqrt[3]{{r^3}}
\]

Так как кубический корень и объем равными степенями обладают одной и той же четности, то нам не нужно брать модуль. Таким образом, мы получаем:

\[
r = 4
\]

Теперь, когда у нас есть значение радиуса \(r\), мы можем найти площадь поверхности шара, используя формулу:

\[
S = 4\pi r^2
\]

Подставляя значение радиуса \(r = 4\) в формулу, получаем:

\[
S = 4\pi(4)^2 = 4\pi(16) = 64\pi
\]

Таким образом, площадь поверхности данного шара составляет \(64\pi\).