Какова площадь правильного многоугольника, если его периметр составляет 36 см и радиус вписанной окружности равен

Снегирь

54

Для начала рассмотрим, что такое правильный многоугольник. Правильный многоугольник - это многоугольник, у которого все стороны имеют одинаковую длину, а все углы равны.

У нас есть два важных параметра: периметр и радиус вписанной окружности. Нам нужно найти площадь такого многоугольника.

Пусть наш правильный многоугольник имеет n сторон. Если одна сторона имеет длину s, то периметр многоугольника равен \(P = n \cdot s\).

Также, у нас есть радиус вписанной окружности, обозначим его через r.

Для нахождения площади правильного многоугольника, мы можем использовать следующую формулу:

\[A = \frac{1}{2} \cdot P \cdot r\]

Давайте найдем количество сторон (n) многоугольника. Для этого воспользуемся радиусом (r) и формулой:

\[n = \frac{360}{\alpha}\]

где \(\alpha\) - центральный угол равностороннего многоугольника. Для правильного многоугольника с n сторонами, каждый угол многоугольника равен \(\frac{360}{n}\) градусов.

Теперь, чтобы найти периметр (P) и длину стороны (s), у нас есть следующая формула:

\[s = \frac{2r \cdot \sin \left(\frac{\alpha}{2}\right)}{\sin \left(\frac{180}{n}\right)}\]

где \(\sin\) использует радианы, так что нам нужно преобразовать \(\alpha\) из градусов в радианы. Для этого воспользуемся следующей формулой:

\(\text{угол в радианах} = \frac{\pi}{180} \cdot \text{угол в градусах}\)

Используя полученные значения для периметра (P) и радиуса (r), мы можем найти площадь (А) нашего правильного многоугольника с помощью формулы:

\[A = P \cdot r\]

Теперь давайте приступим к расчетам в соответствии с представленными формулами.