Какова площадь прямоугольной трапеции с основаниями длиной 8 см и 7 см, если её меньшая диагональ является биссектрисой

Sabina_4355

45

Хорошо! Давайте решим эту задачу пошагово.

Во-первых, нам понадобится знать формулу для площади прямоугольной трапеции. Площадь такой трапеции можно рассчитать по формуле:

\[S = \frac{{(a + b) \cdot h}}{2}\]

где \(a\) и \(b\) - длины оснований трапеции, а \(h\) - высота трапеции, которую можно найти с помощью интересующей нас диагонали.

В задаче сказано, что меньшая диагональ является биссектрисой прямого угла трапеции. Для начала найдем длину этой диагонали.

Для этого нам понадобится знания о свойствах биссектрисы в прямоугольном треугольнике. Биссектриса делит сторону треугольника на две части пропорционально смежным сторонам. В данном случае, биссектриса делит большее основание трапеции на две части, пропорционально длинам меньшего основания и биссектрисы. Так как меньшая диагональ является биссектрисой прямого угла, то она делит большее основание трапеции (с длиной 8 см) на две части с длинами 7 см и \(x\) (неизвестная длина).

Применяя пропорцию, мы получим уравнение:

\(\frac{8}{7} = \frac{x}{7}\)

Теперь найдем значение \(x\), перекрестным умножением:

\(8 \cdot 7 = 7 \cdot x\)

\(56 = 7x\)

\(x = 8\)

Таким образом, мы узнали, что длина меньшей диагонали равна 8 см.

Теперь мы можем рассчитать площадь трапеции. Введем значения оснований в формулу:

\[S = \frac{{(8 + 7) \cdot h}}{2}\]

Так как у нас нет информации о высоте трапеции, нам нужно найти её. Однако заметим, что меньшая диагональ также является высотой трапеции, так как она перпендикулярна основаниям.

Таким образом, высота трапеции равна 8 см.

Теперь можем продолжить решение:

\[S = \frac{{(8 + 7) \cdot 8}}{2} = \frac{{15 \cdot 8}}{2} = \frac{{120}}{2} = 60\]

Ответ: площадь прямоугольной трапеции равна 60 квадратным сантиметрам.