Какова площадь равнобедренной трапеции, если длины ее оснований составляют 12 см и 20 см, и известно, что центр

Volk

53

Для решения данной задачи мы будем использовать свойства равнобедренных трапеций и окружностей.

Дано, что длины оснований трапеции составляют 12 см и 20 см, и центр окружности, описанной около трапеции, находится на большем основании.

1. Рассмотрим равнобедренную трапецию ABCD, где AB = 12 см и CD = 20 см. Пусть точка O - центр окружности, описанной около трапеции.

2. Так как ABCD - равнобедренная трапеция, то AC и BD - диагонали, пересекающиеся в точке O, делятся пополам. То есть AO = CO и BO = DO.

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник BOC. По теореме Пифагора, сумма квадратов его катетов равна квадрату гипотенузы. Так как отрезок BC является основанием трапеции, то его длина равна 20 см. Пусть x - длина отрезка AO (и CO). Тогда по теореме Пифагора получаем:

\[x^2 + \left(\frac{20}{2}\right)^2 = AO^2 \]
\[x^2 + 10^2 = AO^2 \]
\[x^2 + 100 = AO^2 \]

4. Аналогично рассмотрим прямоугольный треугольник AOD. Длина отрезка BO (и DO) также равна x. По теореме Пифагора имеем:

\[x^2 + \left(\frac{12}{2}\right)^2 = BO^2 \]
\[x^2 + 6^2 = BO^2 \]
\[x^2 + 36 = BO^2 \]

5. Так как AO = CO и BO = DO, то AO^2 = CO^2 и BO^2 = DO^2. Значит, AO^2 = BO^2 и x^2 + 100 = x^2 + 36.

6. Из полученного уравнения мы видим, что x не влияет на его решение. Это означает, что точка O может находиться на любом отрезке AO, причем AC и BD все равно будут пересекаться в точке O.

7. Так как мы ищем площадь равнобедренной трапеции, то нам необходимо найти высоту h. Мы можем найти ее с помощью теоремы Пифагора, используя любую из двух пар диагоналей (AC и BD). Для наших расчетов возьмем диагонали AC и BD.

Из треугольника AOC получаем:
\[h^2 + x^2 = \left(\frac{12}{2}\right)^2 \]
\[h^2 + x^2 = 6^2 \]
\[h^2 + x^2 = 36 \]

8. Так как мы видим, что x^2 + 36 = h^2 + x^2, то 36 = h^2. Тогда получаем, что h = 6.

9. Известно, что площадь трапеции можно найти, умножив сумму ее оснований на высоту и разделив результат на 2. В нашем случае, основания равны 12 и 20 см, а высота равна 6 см.

Подставим значения в формулу:
\[S = \frac{(12 + 20) \cdot 6}{2} \]
\[S = \frac{32 \cdot 6}{2} \]
\[S = \frac{192}{2} \]
\[S = 96 \, \text{см}^2 \]

Таким образом, площадь равнобедренной трапеции составляет 96 квадратных сантиметров.