Какова площадь ромба с стороной равной 23 и одним из углов, которым является 30 градусов? Включите решение

Тропик

65

Хорошо, давайте решим данную задачу шаг за шагом.

Шаг 1: Нарисуем ромб и обозначим его стороны и углы.
Мы знаем, что одна из сторон ромба равна 23 и один из углов равен 30 градусов. Обозначим эту сторону как \(a\) и угол как \(\theta\).

Шаг 2: Найдем значение диагонали ромба.
В ромбе диагонали делят углы на две равные части. Таким образом, угол, противолежащий стороне \(a\), также равен 30 градусов. Обозначим другую сторону ромба как \(b\).

Шаг 3: Применяем тригонометрические соотношения.
Так как у нас имеется прямоугольный треугольник с углом \(\theta\) и известной стороной \(a\), мы можем использовать соотношение для тангенса:
\[
\tan(\theta) = \frac{{\text{{противолежащая сторона}}}}{{\text{{прилежащая сторона}}}}
\]

В данной задаче, проекция диагонали на одну из сторон ромба тангенс 30 градусов будет равен:
\[
\tan(30^\circ) = \frac{{\frac{b}{2}}}{{a}}
\]

Шаг 4: Решаем уравнение.
Упростим уравнение:
\[
\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{b}{2a}
\]

Умножим обе части уравнения на \(2a\) и получим:
\[
b = 2a \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}
\]

Шаг 5: Найдем площадь ромба.
Площадь ромба можно найти, используя формулу:
\[
\text{{Площадь}} = \frac{{\text{{диагональ 1}} \times \text{{диагональ 2}}}}{2}
\]

В данном случае диагонали равны, поэтому:
\[
\text{{Площадь}} = \frac{{b \times a}}{2}
\]

Подставим значения \(b\) и \(a\):
\[
\text{{Площадь}} = \frac{{2a \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} \times a}{2} = \frac{{a^2}}{{\sqrt{3}}}
\]

Шаг 6: Подставляем значения сторон ромба.
Подставим значение стороны ромба \(a = 23\) в формулу площади:
\[
\text{{Площадь}} = \frac{{23^2}}{{\sqrt{3}}}
\]

Шаг 7: Вычисляем ответ.
Вычислим площадь ромба, используя калькулятор:
\[
\text{{Площадь}} \approx 177.36 \, \text{{квадратных единиц}}
\]

Таким образом, площадь ромба с стороной 23 и углом 30 градусов составляет примерно 177.36 квадратных единиц.