Какова площадь сегмента, соответствующего дуге окружности, равной 60 градусов, при радиусе

Вечный_Герой_109

32

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово.

Для начала, давайте определимся с тем, что такое сегмент окружности. Сегмент окружности - это область, ограниченная дугой окружности и двумя радиусами, проведенными к концам дуги.

Теперь нам нужно найти площадь сегмента, соответствующего дуге окружности, равной 60 градусов, при заданном радиусе.

Шаг 1: Вычислим площадь всей окружности. Площадь окружности вычисляется по формуле \(S = \pi r^2\), где \(S\) - площадь, \(\pi\) - математическая константа, примерное значение которой равно 3.14, а \(r\) - радиус окружности.

Шаг 2: Рассчитаем площадь сектора, соответствующего дуге окружности, равной 60 градусов. Формула для нахождения площади сектора выглядит следующим образом: \(S_{\text{сектора}} = \frac{{n \cdot r^2 \cdot \theta}}{{360}}\), где \(S_{\text{сектора}}\) - площадь сектора, \(n\) - количество градусов в окружности, \(r\) - радиус окружности, а \(\theta\) - количество градусов дуги окружности.

Шаг 3: Вычтем площадь треугольника, образованного радиусом и соединяющим два конца дуги, из площади сектора, чтобы получить площадь сегмента окружности. Формула для нахождения площади треугольника выражается как \(S_{\text{треугольника}} = \frac{{1}}{{2}} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}\), где основание - это длина дуги окружности, а высота - это радиус окружности.

Шаг 4: Найдем площадь сегмента окружности, вычитая площадь треугольника из площади сектора. Это будет ответ на задачу.

Теперь, применим эти шаги к нашей задаче:

Пусть заданный радиус окружности равен \(r\).

Шаг 1: Вычисляем площадь окружности: \(S_{\text{окр}} = \pi r^2\).

Шаг 2: Вычисляем площадь сектора: \(S_{\text{сектора}} = \frac{{360 \cdot r^2 \cdot 60}}{{360}} = 60 r^2\) (так как у нас задана дуга в 60 градусов).

Шаг 3: Вычисляем площадь треугольника: \(S_{\text{треугольника}} = \frac{{1}}{{2}} \cdot (2\pi r) \cdot r = \pi r^2\).

Шаг 4: Вычитаем площадь треугольника из площади сектора: \(S_{\text{сегмента}} = S_{\text{сектора}} - S_{\text{треугольника}} = 60 r^2 - \pi r^2\).

Таким образом, площадь сегмента, соответствующего дуге окружности в 60 градусов при радиусе \(r\), будет \(S_{\text{сегмента}} = 60 r^2 - \pi r^2\).