Какова площадь сферы, описанной вокруг правильной четырехугольной пирамиды, у которой сторона основания равна

Dobraya_Vedma

2

Чтобы решить эту задачу, мы должны использовать свойства правильной четырехугольной пирамиды и формулы для вычисления площади сферы.

Свойства правильной четырехугольной пирамиды:
1. Все грани основания являются равносторонними треугольниками.
2. Биссектрисы углов основания пересекаются в одной точке, которая является центром сферы, описанной вокруг пирамиды.

Мы знаем, что сторона основания равна \(4\sqrt{2}\) и угол между ребром и основанием составляет 60°. Вычислим высоту пирамиды:

Для правильного треугольника:

1. Угол между стороной треугольника и биссектрисой угла равен 30° (половина угла основания).
2. Мы также знаем, что сторона основания треугольника равна \(4\sqrt{2}\).

Используя формулу для высоты равностороннего треугольника \(h = \frac{\sqrt{3}}{2} \times a\), где \(a\) - сторона треугольника, подставим известные значения и вычислим высоту:

\[h = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 4\sqrt{2}\]
\[h = 2\sqrt{6}\]

Теперь, у нас есть боковая грань треугольника, которая является равносторонним треугольником со стороной \(4\sqrt{2}\), и высота пирамиды \(2\sqrt{6}\).

Для вычисления площади пирамиды, используем следующую формулу:

\[S_п = \frac{a\times p}{2}\], где \(a\) - сторона основания пирамиды, \(p\) - периметр основания пирамиды.

Поскольку в нашем случае пирамида - правильная четырехугольная пирамида, периметр основания равен \(4 \times 4\sqrt{2}\):

\[p = 4 \times 4\sqrt{2} = 16\sqrt{2}\]

Теперь, вычислим площадь пирамиды:

\[S_п = \frac{4\sqrt{2}\times 16\sqrt{2}}{2}\]
\[S_п = 32\sqrt{2} \times \sqrt{2}\]
\[S_п = 64\]

Таким образом, площадь сферы, описанной вокруг данной четырехугольной пирамиды, равна 64.