Какова площадь трапеции с основаниями 8 см и 18 см, а углы при большем основании составляют 30 градусов?

Moroznyy_Voin

8

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово.

Шаг 1: Понимание задачи
Мы задаемся вопросом о площади трапеции с основаниями 8 см и 18 см, при условии, что углы при большем основании составляют 30 градусов.

Шаг 2: Знание формулы для площади трапеции
Площадь трапеции можно найти с помощью следующей формулы:
\[S = \frac{(a+b) \cdot h}{2}\]
где \(a\) и \(b\) - длины оснований, а \(h\) - высота трапеции.

Шаг 3: Поиск высоты трапеции
Для нахождения высоты трапеции нам понадобится знание геометрической свойства: у трапеции высота, опущенная из вершины одного основания, перпендикулярна другому основанию и делит его на две равные части.

Так как у нас имеется угол в 30 градусов, который является одним из углов при большем основании, мы можем разделить трапецию на два треугольника. Из этого следует, что высота трапеции будет являться биссектрисой угла между двумя основаниями.

Шаг 4: Нахождение высоты трапеции
Чтобы найти высоту трапеции, мы можем использовать теорему синусов в треугольнике, образованном двумя основаниями и высотой. Формула теоремы синусов:
\[\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}\]
где \(a\), \(b\), \(c\) - стороны треугольника, а \(A\), \(B\), \(C\) - соответствующие углы.

В нашем случае у нас есть два известных основания: \(a = 8\) см и \(b = 18\) см, а также угол при большем основании \(B = 30^\circ\). Мы хотим найти высоту \(h\), поэтому параметр \(c\) для нас не важен. Обозначим A как угол между высотой и первым основанием, тогда \(C\) будет углом между высотой и вторым основанием.

Применяя теорему синусов к нашему треугольнику, получим:
\[\frac{8}{\sin 30^\circ} = \frac{18}{\sin C}\]

Теперь мы можем найти значение \(\sin C\):
\[\sin C = \frac{18}{8} \cdot \sin 30^\circ\]
\[\sin C = \frac{9}{4} \cdot \frac{1}{2}\]
\[\sin C = \frac{9}{8}\]

Шаг 5: Найдем значение угла C
Чтобы найти угол C, можно использовать обратную функцию sin, исходя из того, что \(\sin C = \frac{9}{8}\). Применяя обратную функцию sin, получим:
\[C = \arcsin \left(\frac{9}{8}\right)\]

Шаг 6: Расчет высоты трапеции
Теперь, когда мы знаем угол C, мы можем использовать теорему синусов снова, чтобы найти высоту \(h\):
\[\frac{h}{\sin C} = \frac{b}{\sin A}\]
\[\frac{h}{\frac{9}{8}} = \frac{18}{\sin A}\]

Так как высота является биссектрисой угла между двумя основаниями, \(\sin A\) будет равен \(\sin B\), т.е. будет равен \(\sin 30^\circ\):
\[\frac{h}{\frac{9}{8}} = \frac{18}{\sin 30^\circ}\]
\[h = \frac{18 \cdot \frac{9}{8}}{\sin 30^\circ}\]
\[h = 20,25\ \text{см}\]

Шаг 7: Расчет площади трапеции
Теперь, когда у нас есть значение высоты \(h\), можно использовать формулу для нахождения площади трапеции:
\[S = \frac{(a+b) \cdot h}{2}\]
\[S = \frac{(8+18) \cdot 20,25}{2}\]
\[S = \frac{26 \cdot 20,25}{2}\]
\[S = 260,5\ \text{см}^2\]

Итак, площадь трапеции с основаниями 8 см и 18 см, при условии, что углы при большем основании составляют 30 градусов, равна 260,5 см².