Какова площадь треугольника, если одна сторона равна 4 см, другая сторона равна 7 см, а угол между ними составляет 30°?

Тимка

9

Для решения данной задачи вам потребуется знание формулы площади треугольника. В данном случае требуется найти площадь треугольника, заданного одной стороной, другой стороной и углом между ними.

Формула для нахождения площади треугольника, если известны две стороны и угол между ними, выглядит следующим образом:

\[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(C),\]

где \(S\) - площадь треугольника, \(a\) и \(b\) - длины сторон треугольника, \(C\) - угол между сторонами.

В данной задаче стороны треугольника заданы: \(a = 4\) см и \(b = 7\) см, а угол между ними равен \(30^\circ\). Подставим известные значения в формулу и выполним вычисления:

\[S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 7 \cdot \sin(30^\circ).\]

Перед тем, как продолжить вычисления, давайте выразим \(\sin(30^\circ)\) в виде десятичной дроби.

Угол \(30^\circ\) соответствует одному из особых углов, встречающихся в треугольнике, а именно \(30^\circ\)-\(60^\circ\)-\(90^\circ\). В этом треугольнике соотношения между длинами сторон таковы:

\[
\text{противолежащий катет} = \frac{\text{гипотенуза}}{2} = \frac{\text{гипотенуза}\cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\text{hyp}\cdot \sqrt{3}}{2}.
\]

Таким образом, \[\sin(30^\circ) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{\frac{\text{hyp}\cdot \sqrt{3}}{2}}{\text{hyp}} = \frac{\sqrt{3}}{2}.\]

Теперь можно продолжить вычисления:

\[
S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 7 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 14 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 7 \sqrt{3} \approx 12.124 \text{ см}^2.
\]

Таким образом, площадь треугольника составляет примерно \(12.124\) квадратных сантиметра.