Какова площадь треугольника с углом величиной 60° и сторонами 10

Grigoryevich

28

Чтобы найти площадь треугольника с углом величиной 60° и сторонами 10, нам понадобится знание формулы для вычисления площади треугольника. Для треугольников, которые не являются прямоугольными, удобно использовать формулу площади треугольника по формуле Герона:

\[S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}\]

где S - площадь треугольника, a, b, c - длины сторон треугольника, а p - полупериметр, который можно вычислить по формуле:

\[p = \frac{a + b + c}{2}\]

В нашей задаче, у нас уже известно, что стороны треугольника равны 10. Также мы знаем, что треугольник имеет угол величиной 60°. Используя это, мы можем найти длину третьей стороны треугольника, применив теорему косинусов. Теорема косинусов гласит:

\[a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos(A)\]

где a, b, c - длины сторон треугольника, A - величина угла противолежащего стороне а.

В нашем случае, мы знаем, что стороны треугольника равны 10 и что угол A равен 60°. Подставляя это в формулу теоремы косинусов, мы можем найти длину третьей стороны треугольника:

\[10^2 = 10^2 + c^2 - 2 \cdot 10 \cdot c \cdot \cos(60°)\]

\[100 = 100 + c^2 - 20c \cdot \cos(60°)\]

\[0 = c^2 - 20c \cdot \cos(60°)\]

Мы знаем, что \(\cos(60°) = \frac{1}{2}\), поэтому:

\[0 = c^2 - 10c\]

Стандартное уравнение для этой квадратной формы имеет вид:

\[c^2 - 10c = 0\]

Факторизуя это уравнение, мы получаем:

\[c(c - 10) = 0\]

Из этого следует, что c = 0 или c - 10 = 0. Так как сторона не может иметь нулевую длину, мы отбрасываем решение c = 0, и остается только c - 10 = 0. Решая это уравнение, мы находим c = 10.

Теперь, когда мы знаем длины всех сторон треугольника (a = b = 10, c = 10), мы можем вычислить полупериметр:

\[p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{10 + 10 + 10}{2} = 15\]

Подставляя значения в формулу площади треугольника по формуле Герона, мы получим:

\[S = \sqrt{15(15 - 10)(15 - 10)(15 - 10)}\]

\[S = \sqrt{15 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5}\]

\[S = \sqrt{1875}\]

\[S \approx 43.30\]

Таким образом, площадь треугольника с углом величиной 60° и сторонами 10 равна приблизительно 43.30.