Какие векторы в параллелепипеде АВСDAA1B1C1D1 являются компланарными? 1) Векторы AB,AD,CC1 2) Векторы CB,CD,CC1

Соня_9387

68

Чтобы определить, какие векторы в параллелепипеде являются компланарными, мы можем воспользоваться определением компланарности векторов. Векторы считаются компланарными, если они лежат в одной плоскости или параллелограмме. Давайте рассмотрим каждый вариант векторов по очереди.

1) Векторы AB, AD, CC1:
Чтобы проверить, лежат ли эти векторы в одной плоскости, мы можем построить их направляющие векторы. Направляющие векторы можно получить, вычитая начальную точку вектора из конечной точки. В данном случае, можно записать следующие направляющие векторы:

- Направляющий вектор AB: \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A}\)
- Направляющий вектор AD: \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{D} - \overrightarrow{A}\)
- Направляющий вектор CC1: \(\overrightarrow{CC1} = \overrightarrow{C1} - \overrightarrow{C}\)

Теперь мы можем проверить, являются ли направляющие векторы коллинеарными, то есть параллельными или противоположно направленными. Если они коллинеарны, то это означает, что векторы лежат в одной плоскости. Параметризуем векторы, чтобы проверить эту коллинеарность:

\(\overrightarrow{AB} = x_1\overrightarrow{i} + y_1\overrightarrow{j} + z_1\overrightarrow{k}\)
\(\overrightarrow{AD} = x_2\overrightarrow{i} + y_2\overrightarrow{j} + z_2\overrightarrow{k}\)
\(\overrightarrow{CC1} = x_3\overrightarrow{i} + y_3\overrightarrow{j} + z_3\overrightarrow{k}\)

После параметризации, мы можем составить систему уравнений:

\[
\begin{{cases}}
x_1 = x_3 \\
y_1 = y_3 \\
z_1 = z_3 \\
\end{{cases}}
\]

Если система уравнений имеет решение, то направляющие векторы коллинеарны и, следовательно, векторы AB, AD и CC1 являются компланарными.

2) Векторы CB, CD, CC1:
Аналогично первому случаю, мы можем найти направляющие векторы для каждого из этих векторов:

- Направляющий вектор CB: \(\overrightarrow{CB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{C}\)
- Направляющий вектор CD: \(\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{D} - \overrightarrow{C}\)
- Направляющий вектор CC1: \(\overrightarrow{CC1} = \overrightarrow{C1} - \overrightarrow{C}\)

Параметризуем векторы:

\(\overrightarrow{CB} = x_1\overrightarrow{i} + y_1\overrightarrow{j} + z_1\overrightarrow{k}\)
\(\overrightarrow{CD} = x_2\overrightarrow{i} + y_2\overrightarrow{j} + z_2\overrightarrow{k}\)
\(\overrightarrow{CC1} = x_3\overrightarrow{i} + y_3\overrightarrow{j} + z_3\overrightarrow{k}\)

Составим систему уравнений:

\[
\begin{{cases}}
x_1 = -x_2 + x_3 \\
y_1 = -y_2 + y_3 \\
z_1 = -z_2 + z_3 \\
\end{{cases}}
\]

Если система имеет решение, то векторы CB, CD и CC1 являются компланарными.

3) Векторы AD, BC, BB1:
Аналогично, найдем направляющие векторы:

- Направляющий вектор AD: \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{D} - \overrightarrow{A}\)
- Направляющий вектор BC: \(\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{B}\)
- Направляющий вектор BB1: \(\overrightarrow{BB1} = \overrightarrow{B1} - \overrightarrow{B}\)

Параметризуем векторы:

\(\overrightarrow{AD} = x_1\overrightarrow{i} + y_1\overrightarrow{j} + z_1\overrightarrow{k}\)
\(\overrightarrow{BC} = x_2\overrightarrow{i} + y_2\overrightarrow{j} + z_2\overrightarrow{k}\)
\(\overrightarrow{BB1} = x_3\overrightarrow{i} + y_3\overrightarrow{j} + z_3\overrightarrow{k}\)

Составим систему уравнений:

\[
\begin{{cases}}
-x_2 + x_3 = x_1 \\
-y_2 + y_3 = y_1 \\
-z_2 + z_3 = z_1 \\
\end{{cases}}
\]

Если система имеет решение, то векторы AD, BC и BB1 являются компланарными.

4) Векторы CB, BA1, AD1:
Найдем направляющие векторы:

- Направляющий вектор CB: \(\overrightarrow{CB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{C}\)
- Направляющий вектор BA1: \(\overrightarrow{BA1} = \overrightarrow{A1} - \overrightarrow{B}\)
- Направляющий вектор AD1: \(\overrightarrow{AD1} = \overrightarrow{D1} - \overrightarrow{A}\)

Параметризуем векторы:

\(\overrightarrow{CB} = x_1\overrightarrow{i} + y_1\overrightarrow{j} + z_1\overrightarrow{k}\)
\(\overrightarrow{BA1} = x_2\overrightarrow{i} + y_2\overrightarrow{j} + z_2\overrightarrow{k}\)
\(\overrightarrow{AD1} = x_3\overrightarrow{i} + y_3\overrightarrow{j} + z_3\overrightarrow{k}\)

Составим систему уравнений:

\[
\begin{{cases}}
-x_1 + x_2 = x_3 \\
-y_1 + y_2 = y_3 \\
-z_1 + z_2 = z_3 \\
\end{{cases}}
\]

Если система имеет решение, то векторы CB, BA1 и AD1 являются компланарными.

После решения каждой из этих систем уравнений, вы можете сделать вывод о том, какие векторы являются компланарными в данном параллелепипеде. Надеюсь, это помогло вам понять задачу по созданию компланарности векторов в данном геометрическом объекте. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать их. Я всегда готов помочь!