Какова полная поверхность прямоугольного параллелепипеда с боковым ребром 8 см и углом между сторонами основания
Какова полная поверхность прямоугольного параллелепипеда с боковым ребром 8 см и углом между сторонами основания 45°, если длины сторон основания составляют 5 см и 9 см?
Romanovich 60
Для начала, мы можем использовать формулу для вычисления площади полной поверхности прямоугольного параллелепипеда. Пусть \(a\), \(b\) и \(c\) - длины его сторон основания, и \(l\), \(w\) и \(h\) - его стороны. Формула будет выглядеть следующим образом:\[S_{\text{пол}} = 2(ab + ac + bc)\]
В данной задаче, длины сторон основания составляют 5 см и 8 см, а угол между сторонами основания составляет 45°. Мы можем использовать связь между сторонами основания и боковым ребром прямоугольного параллелепипеда с помощью тригонометрических функций.
Если мы обозначим \(l = 5\), \(w = 8\) и \(h\) - высоту параллелепипеда, то мы можем найти \(h\) по следующей формуле:
\[h = w \cdot \sin(\alpha)\]
где \(\alpha\) - угол между сторонами основания. В данной задаче \(\alpha\) равно 45°, поэтому:
\[h = 8 \cdot \sin(45°)\]
Мы можем использовать тригонометрическую таблицу или калькулятор, чтобы найти значение синуса 45°. Значение синуса 45° равно \(\frac{\sqrt{2}}{2}\), поэтому:
\[h = 8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\]
Теперь, используя полученные значения, мы можем вычислить полную поверхность параллелепипеда по формуле, заданной в начале. Подставляем \(a = 5\), \(b = 8\) и \(c = h\):
\[S_{\text{пол}} = 2(5 \cdot 8 + 5 \cdot h + 8 \cdot h)\]
\[S_{\text{пол}} = 2(40 + 5h + 8h)\]
\[S_{\text{пол}} = 2(40 + 13h)\]
\[S_{\text{пол}} = 80 + 26h\]
Мы знаем, что \(h = 8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\), поэтому:
\[S_{\text{пол}} = 80 + 26 \cdot 8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\]
\[S_{\text{пол}} = 80 + 104 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\]
Чтобы упростить этот ответ, мы можем привести его к более удобному виду:
\[S_{\text{пол}} = 80 + 52\sqrt{2}\]
Таким образом, полная поверхность этого прямоугольного параллелепипеда равна \(80 + 52\sqrt{2}\) квадратных см.