Какова разница между векторами АВ и CD, если угол между ними составляет 45° и |AB| = 63, |CD| = 3? 1) 18 2) 92 3

Пушистый_Дракончик

20

Чтобы найти разницу между векторами \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{CD}\), нам нужно вычислить длину вектора-разности. Вектор-разность \(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CD}\) представляет собой вектор, указывающий направление и расстояние от точки D до точки B. Сначала давайте рассмотрим геометрическое представление задачи.

У нас есть точки A, B, C и D, и мы хотим найти разницу между векторами \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{CD}\). Угол между этими векторами составляет 45°, а длина вектора \(\overrightarrow{AB}\) равна 63, а длина вектора \(\overrightarrow{CD}\) равна 3. Для начала нарисуем векторы.

\[
\begin{array}{cc}
& \overrightarrow{AB} \\
A & \longrightarrow \\
& \longrightarrow \nearrow \\
C & \longrightarrow & B \\
& \longrightarrow \searrow \\
& \overrightarrow{CD}
\end{array}
\]

Теперь мы видим, что вектор-разность может быть представлена как вектор от точки D до точки B, обозначим его как \(\overrightarrow{DB}\). Наша задача - найти его длину.

Чтобы найти длину вектора \(\overrightarrow{DB}\), мы можем воспользоваться теоремой косинусов для треугольника DBA. Она утверждает, что квадрат длины вектора \(\overrightarrow{DB}\) равен сумме квадратов длин векторов \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{CD}\), минус два произведения длин этих векторов на косинус угла между ними.

\[
|\overrightarrow{DB}|^2 = |\overrightarrow{AB}|^2 + |\overrightarrow{CD}|^2 - 2 |\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{CD}| \cos(45°)
\]

Теперь подставим известные значения в эту формулу и вычислим длину вектора-разности \(\overrightarrow{DB}\):

\[
|\overrightarrow{DB}|^2 = 63^2 + 3^2 - 2 \cdot 63 \cdot 3 \cdot \cos(45°)
\]

\[
|\overrightarrow{DB}|^2 = 3969 + 9 - 378 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 3882.64
\]

Теперь возьмем квадратный корень от полученного значения, чтобы найти длину вектора-разности:

\[
|\overrightarrow{DB}| \approx \sqrt{3882.64} \approx 62.34
\]

Таким образом, разница между векторами \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{CD}\) составляет около 62.34. Ответа 1) 18, 2) 92 или 3) 9 нет в списке вариантов, поэтому максимальная разница между ними - 62.34.