Какова разница в длине волны (λ=0,49 мкм) между вторым максимумом в дифракционном спектре? Определите частоту этой

Natalya

38

Для решения этой задачи вам потребуются знания из дифракции света. Дифракция - это явление, когда свет при прохождении через щель или преграду распространяется и изменяет направление насколько различаются его длины волн.

Первым шагом мы можем найти разницу в длине волны (λ) между соседними максимумами в дифракционной решётке. Для этого мы можем использовать формулу дифракции света:

\(\sin\theta = m \cdot \frac{\lambda}{d}\),

где \(\theta\) - угол между нормалью к решётке и лучом света, \(m\) - порядок максимума (1, 2, 3, ...), \(\lambda\) - длина волны света, \(d\) - расстояние между щелями на решётке.

В данной задаче второй максимум имеет порядок \(m = 2\), длина волны света составляет \(\lambda = 0,49\) мкм. Нам нужно найти разницу в длине волны между вторым и первым максимумами.

Подставляя известные значения в формулу дифракции, получаем:

\(\sin\theta_2 = 2 \cdot \frac{0,49}{d}\) (1)
\(\sin\theta_1 = 1 \cdot \frac{0,49}{d}\) (2)

Если мы вычтем уравнение (2) из уравнения (1), получим:

\(\sin\theta_2 - \sin\theta_1 = \frac{0,49}{d}\)

Разность синусов углов можно выразить через формулу разности синусов:

\(\sin\theta_2 - \sin\theta_1 = 2\cos\left(\frac{\theta_1 + \theta_2}{2}\right)\sin\left(\frac{\theta_2 - \theta_1}{2}\right)\)

Таким образом, мы получаем:

\(2\cos\left(\frac{\theta_1 + \theta_2}{2}\right)\sin\left(\frac{\theta_2 - \theta_1}{2}\right) = \frac{0,49}{d}\)

Воспользуемся формулой двойного угла для косинуса:

\(2\cos\left(\frac{\theta_1 + \theta_2}{2}\right)\sin\left(\frac{\theta_2 - \theta_1}{2}\right) = \frac{0,49}{d}\)
\(2\cos\left(\theta_1 + \theta_2\right)\sin\left(\theta_2 - \theta_1\right) = \frac{0,49}{d}\)

Также мы можем использовать известное соотношение:

\(\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B\)

Применяя это соотношение, мы получаем:

\(2\cos\left(\theta_1 + \theta_2\right)\sin\left(\theta_2 - \theta_1\right) = \frac{0,49}{d}\)
\(2\left(\cos\theta_1 \cos\theta_2 - \sin\theta_1 \sin\theta_2\right) = \frac{0,49}{d}\)

Теперь мы можем заменить значения синусов и косинусов из уравнений (1) и (2):

\(2\left(\cos\theta_1 \cos\theta_2 - \sin\theta_1 \sin\theta_2\right) = \frac{0,49}{d}\)
\(2\left(\frac{0,49}{d} \cos\theta_2 - \frac{0,49}{d} \sin\theta_2\right) = \frac{0,49}{d}\)

Сокращаем \(\frac{0,49}{d}\) с обеих сторон уравнения:

\(2(\cos\theta_2 - \sin\theta_2) = 1\)

Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:

\(2\cos\theta_2 - 2\sin\theta_2 = 1\)

Поскольку \(\cos\) и \(\sin\) - это связанные функции, мы можем использовать тригонометрическое тождество:

\(\cos\theta = \sin\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right)\)

Применяя это тождество, мы можем записать уравнение в виде:

\(2\cos\theta_2 - 2\sin\theta_2 = 1\)
\(2\sin\left(\frac{\pi}{2} - \theta_2\right) - 2\sin\theta_2 = 1\)

Раскрываем скобки:

\(2\sin\frac{\pi}{2} - 2\sin\theta_2 - 2\sin\theta_2 = 1\)

Сокращаем:

\(\sin\frac{\pi}{2} - 4\sin\theta_2 = 1\)

Известно, что \(\sin\frac{\pi}{2} = 1\), поэтому:

\(1 - 4\sin\theta_2 = 1\)

Теперь мы можем выразить \(\sin\theta_2\):

\(4\sin\theta_2 = 0\)

Делим обе части уравнения на 4:

\(\sin\theta_2 = 0\)

Поскольку \(\sin\theta_2 = 0\), это будет верно, когда угол \(\theta_2 = 0\) или \(\theta_2 = \pi\).

Находясь в пределах [\(-\pi, \pi\)], мы можем выбрать \(\theta_2 = 0\) в качестве ответа (поскольку \(\theta_2 = \pi\) будет означать отрицательный угол).

Теперь мы можем использовать уравнение дифракции для определения частоты (f) света:

\(\sin\theta = \frac{m\lambda}{d}\)

Подставляя известные значения:

\(\sin\theta = \frac{m\lambda}{d}\)
\(\sin0 = \frac{2 \cdot 0,49 \cdot 10^{-6}}{d}\)
\(0 = \frac{0,98 \cdot 10^{-6}}{d}\)

Таким образом, получаем:

\(d = 0,98 \cdot 10^{-6}\) м

Формула для определения частоты света выглядит следующим образом:

\(f = \frac{c}{\lambda}\),

где \(c\) - скорость света, \(f\) - частота света, \(\lambda\) - длина волны света.

Если нам дано значение длины волны \(\lambda = 0,49\) мкм, мы можем использовать эту формулу для определения частоты \(f\).

В системе СИ, скорость света \(c\) равна приблизительно \(3 \cdot 10^8\) м/с. Подставляя значения в формулу, получаем:

\(f = \frac{3 \cdot 10^8}{0,49 \cdot 10^{-6}}\)

Вычисляем значение:

\(f \approx 6,12 \cdot 10^{14}\) Гц

Таким образом, разница в длине волны между вторым максимумом в дифракционном спектре составляет \(0,49\) мкм, а частота этой волны равна примерно \(6,12 \cdot 10^{14}\) Гц.