Какова разность потенциалов, возникающая между концами стержня, когда он движется вдоль провода со скоростью 40 см/с?

Svetlyachok_V_Lesu

35

Хорошо, давайте разберем эту задачу подробно.

Мы имеем провод, по которому течет ток \(i = 2\) A, и металлический стержень длиной 50 см, расположенный перпендикулярно к проводу. Конец стержня, ближайший к проводу, находится на расстоянии 25 см от провода. Нам нужно найти разность потенциалов между концами стержня, когда он движется вдоль провода со скоростью 40 см/с.

Для решения этой задачи воспользуемся законом индукции Фарадея. Этот закон гласит, что разность потенциалов, возникающая на проводнике, пропорциональна скорости изменения магнитного потока, пронизывающего поверхность, ограниченную проводником.

Перед тем, как приступить к решению, построим схему задачи.

\[
\begin{array}{cccc}
\text{P} & \text{---} & \text{[стержень]} & \text{---} & \text{Q} \\
& & \uparrow & & \\
& & \text{[провод]} & & \\
\end{array}
\]

Магнитный поток, пронизывающий поверхность, ограниченную проводником, можно рассчитать с помощью формулы:

\[
\Phi = B \cdot S \cdot \cos(\theta)
\]

где \(B\) - магнитная индукция, \(S\) - площадь поверхности, ограниченной проводником, и \(\theta\) - угол между направлением магнитной индукции и нормалью к поверхности.

В нашем случае площадь поверхности, ограниченной проводником, равна длине стержня умноженной на ширину стержня:

\[
S = 0.5 \, \text{м} \times 0.05 \, \text{м} = 0.025 \, \text{м}^2
\]

Угол \(\theta\) между направлением магнитной индукции и нормалью к поверхности стержня равен 0, так как стержень расположен перпендикулярно к проводу.

Теперь рассчитаем магнитную индукцию \(B\). Для этого воспользуемся формулой:

\[
B = \frac{{\mu_0 \cdot i}}{{2 \cdot \pi \cdot r}}
\]

где \(i\) - ток, \(r\) - расстояние от провода до стержня, и \(\mu_0\) - магнитная постоянная, равная \(4\pi \times 10^{-7} \, \text{Тл/А} \).

Подставив значения, получим:

\[
B = \frac{{4\pi \times 10^{-7} \, \text{Тл/А} \times 2 \, \text{А}}}{{2 \pi \times 0.25 \, \text{м}}} = 4 \times 10^{-6} \, \text{Тл}
\]

Теперь можем рассчитать магнитный поток \(\Phi\):

\[
\Phi = 4 \times 10^{-6} \, \text{Тл} \times 0.025 \, \text{м}^2 \times \cos(0) = 1 \times 10^{-7} \, \text{Вб}
\]

Согласно закону индукции Фарадея, разность потенциалов, возникающая на стержне, равна производной магнитного потока по времени:

\[
\Delta V = -\frac{{d\Phi}}{{dt}}
\]

Мы знаем, что стержень движется вдоль провода со скоростью 40 см/с, поэтому скорость изменения магнитного потока будет равна:

\[
\frac{{d\Phi}}{{dt}} = \frac{{d(\Phi)}}{{dx}} \cdot \frac{{dx}}{{dt}}
\]

где \(x\) - расстояние между концом стержня и проводом.

Теперь мы можем выразить разность потенциалов:

\[
\Delta V = -\frac{{d(\Phi)}}{{dx}} \cdot \frac{{dx}}{{dt}}
\]

\[
\Delta V = -\frac{{d(\Phi)}}{{dx}} \cdot \frac{{dx}}{{dt}} = -\frac{{d(\Phi)}}{{dt}} \cdot \frac{{dt}}{{dx}} = -\frac{{d(\Phi)}}{{dt}} \cdot \frac{1}{{v}}
\]

где \(v\) - скорость движения стержня (в данном случае 40 см/с).

Теперь осталось только рассчитать значение разности потенциалов:

\[
\Delta V = -\frac{{d(\Phi)}}{{dt}} \cdot \frac{1}{{v}} = -1 \times 10^{-7} \, \text{Вб/с} \cdot \frac{1}{{0.4 \, \text{см/с}}}
\]

\[
\Delta V = -2.5 \times 10^{-7} \, \text{В}
\]

Таким образом, разность потенциалов, возникающая между концами стержня, когда он движется вдоль провода со скоростью 40 см/с, равна \(-2.5 \times 10^{-7}\) В.