Какова решение неравенства 3*49^x-16*21^x+21*9^x

Владимир_3121

23

Давайте решим данное неравенство пошагово.

У нас имеется неравенство: \(3 \cdot 49^x - 16 \cdot 21^x + 21 \cdot 9^x\)

Чтобы решить это неравенство, мы можем использовать метод замены переменной. Давайте заменим \(49\) и \(21\) на другие числа, чтобы упростить выражение.

Заменим \(49\) на \(7^2\), \(21\) на \(7 \cdot 3\) и \(9\) на \(3^2\):

\(3 \cdot (7^2)^x - 16 \cdot (7 \cdot 3)^x + 21 \cdot (3^2)^x\)

Получаем:

\(3 \cdot 7^{2x} - 16 \cdot 7^x \cdot 3^x + 21 \cdot 3^{2x}\)

Теперь у нас есть выражение, в котором все числа являются степенями одного и того же числа. Это позволяет нам использовать одну замену переменной.

Пусть \(y = 7^x\). Тогда мы можем переписать наше выражение:

\(3y^2 - 16 \cdot 3y + 21 \cdot 3^2\)

\(3y^2 - 48y + 189\)

Сейчас у нас получилось квадратное уравнение. Чтобы решить его, мы можем использовать методы факторизации или квадратного корня. Давайте воспользуемся факторизацией:

\(3(y-7)(y-9) = 0\)

Теперь мы получили равенство, которое мы можем разделить на три и получить два независимых уравнения:

\(y - 7 = 0\) или \(y - 9 = 0\)

Решим каждое из них:

\(y - 7 = 0\) дает нам \(y = 7\)

\(y - 9 = 0\) дает нам \(y = 9\)

Теперь вернемся к нашей замене переменной \(y = 7^x\):

Если \(y = 7\), то \(7^x = 7\), откуда получаем \(x = 1\)

Если \(y = 9\), то \(7^x = 9\). Это не имеет рационального решения, так как 7 и 9 не являются степенями одного и того же числа.

Итак, решение исходного неравенства \(3 \cdot 49^x - 16 \cdot 21^x + 21 \cdot 9^x\) равно \(x = 1\).