Какова сила, действующая на тело массой m в момент времени t=1/2, если оно движется по закону x(t)=-3cos2Пt?

Pauk_6473

23

Давайте решим данную задачу. У вас есть функция положения тела \(x(t) = -3\cos(2\pi t)\), где \(t\) - время, а \(x\) - положение тела в заданное время.

1. Нам дано, что момент времени \(t = \frac{1}{2}\). Давайте подставим эту величину в функцию положения:

\[
x\left(\frac{1}{2}\right) = -3\cos\left(2\pi \cdot \frac{1}{2}\right)
\]

2. Выполним несколько простых вычислений:

\[
x\left(\frac{1}{2}\right) = -3\cos(\pi) = -3 \cdot (-1) = 3
\]

Таким образом, положение тела в момент времени \(t = \frac{1}{2}\) равно 3.

3. Теперь выясним, какую силу действует на тело. Сила определяется как производная от функции по времени: \(F(t) = -\frac{{dx}}{{dt}}\).

4. Давайте найдем производную функции положения \(x(t)\). Производная функции \(\cos\) равна \(-\sin\), а производная функции положения тела будет:

\[
\frac{{dx}}{{dt}} = \frac{{d}}{{dt}}(-3\cos(2\pi t)) = 6\pi\sin(2\pi t)
\]

5. Теперь мы можем найти силу, подставив найденную производную в уравнение \(F(t) = -\frac{{dx}}{{dt}}\) и оценив в момент времени \(t = \frac{1}{2}\):

\[
F\left(\frac{1}{2}\right) = -\frac{{dx}}{{dt}}\Bigg|_{t = \frac{1}{2}} = -6\pi\sin(2\pi \cdot \frac{1}{2}) = -6\pi\sin(\pi) = -6\pi\cdot0 = 0
\]

Таким образом, в момент времени \(t = \frac{1}{2}\) на тело массой \(m\) не действует никакая сила, так как сила равна нулю.

Надеюсь, это решение помогло вам.