Какова скорость падения тела на землю, если его бросить вертикально вверх с начальной скоростью 20 м/с с башни высотой

Ярд

44

Для решения данной задачи нам понадобится уравнение движения тела при свободном падении:
\[h = h_0 + v_0t - \frac{1}{2}gt^2,\]
где:
\(h\) - высота, на которой находится тело в момент времени \(t\),
\(h_0\) - начальная высота, на которой было брошено тело,
\(v_0\) - начальная скорость тела,
\(g\) - ускорение свободного падения,
\(t\) - время падения.

В данной задаче начальная скорость тела \(v_0\) равна 20 м/с, начальная высота \(h_0\) равна 50 м, а ускорение свободного падения \(g\) равно 10 м/с².

Мы хотим найти скорость падения тела на землю, то есть нам нужно найти конечную скорость тела в момент достижения земли.

Для этого возьмем уравнение свободного падения и приравняем \(h\) к нулю (так как тело достигнет земли):
\[0 = h_0 + v_0t - \frac{1}{2}gt^2.\]

Теперь решим это уравнение относительно \(t\):
\[gt^2 - 2v_0t - 2h_0 = 0.\]

Мы получили квадратное уравнение. Решим его с помощью формулы дискриминанта:
\[D = b^2 - 4ac,\]
\[t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a},\]
где \(a = g\), \(b = -2v_0\), \(c = -2h_0\).

Вычислим значения \(a\), \(b\), \(c\):
\[a = 10,\]
\[b = -2 \cdot 20 = -40,\]
\[c = -2 \cdot 50 = -100.\]

Теперь вычислим дискриминант:
\[D = (-40)^2 - 4 \cdot 10 \cdot (-100) = 1600 + 4000 = 5600.\]

Так как дискриминант положительный, у нас есть два корня:
\[t_1 = \frac{-(-40) + \sqrt{5600}}{2 \cdot 10},\]
\[t_2 = \frac{-(-40) - \sqrt{5600}}{2 \cdot 10}.\]

Вычислим точные значения времени \(t_1\) и \(t_2\):
\[t_1 = \frac{40 + \sqrt{5600}}{20},\]
\[t_2 = \frac{40 - \sqrt{5600}}{20}.\]

Теперь найдем конечную скорость тела \(v\):
\[v = v_0 - gt.\]

Вычислим значения \(v\) для \(t_1\) и \(t_2\):
\[v_1 = 20 - 10 \cdot t_1,\]
\[v_2 = 20 - 10 \cdot t_2.\]

Теперь окончательно вычислим значения \(v_1\) и \(v_2\):
\[v_1 = 20 - 10 \cdot \frac{40 + \sqrt{5600}}{20},\]
\[v_2 = 20 - 10 \cdot \frac{40 - \sqrt{5600}}{20}.\]

Значение \(v_1\) будет положительным, так как \(t_1\) является положительным корнем квадратного уравнения, и соответствует тому моменту времени, когда тело опускается с меньшей высоты к большей высоте. Значение \(v_2\) будет отрицательным, так как \(t_2\) является отрицательным корнем квадратного уравнения, и соответствует тому моменту времени, когда тело поднимается с большей высоты к меньшей высоте.

Окончательный ответ: скорость падения тела на землю составляет \(v_1\) м/с, вниз относительно начальной точки.

Подставим числовые значения и вычислим результат:

\[v_1 = 20 - 10 \cdot \frac{40 + \sqrt{5600}}{20} \approx -7.16 \, \text{м/с}.\]

Таким образом, скорость падения тела на землю составляет примерно -7.16 м/с вниз относительно начальной точки.

Пожалуйста, обратите внимание, что знак "-" перед числом означает, что скорость направлена вниз, в сторону земли.