На какую ступень лестницы может подняться человек, прежде чем начнут скользить, если лестница длиной 2,5 метра

  • 44
На какую ступень лестницы может подняться человек, прежде чем начнут скользить, если лестница длиной 2,5 метра установлена под углом 30° к идеально гладкой стене и имеет коэффициент трения 0,25 между лестницей и полом? Первая ступень расположена на расстоянии 20 сантиметров от низа лестницы, а между каждой ступенью есть промежуток в 40 сантиметров.
Plamennyy_Demon
15
Для того чтобы решить данную задачу, мы можем воспользоваться понятием момента силы трения и условием устойчивости.

Первым шагом рассчитаем силу трения, действующую между лестницей и полом. Формула для расчета силы трения выглядит следующим образом:

Fтр=μFн

Где Fн - нормальная сила, а μ - коэффициент трения. Так как сила трения может быть направлена только вдоль плоскости (горизонтально), то для нас будет интересна составляющая силы трения вдоль лестницы, которую обозначим как Fтр,.

Fтр,=μFн,

Силу нормального давления (Fн,) мы можем рассчитать, использовав уравнение равновесия по горизонтали. Согласно этому уравнению, сумма горизонтальных составляющих сил равна нулю:

Fгор=Fтр,+Fсилы

Сила, действующая вдоль лестницы (Fсилы), равна проекции силы тяжести на горизонтальную плоскость. Зная, что сила тяжести равна массе, умноженной на ускорение свободного падения (Fтяж=mg), и что горизонтальная составляющая силы тяжести (Fгор=Fтяжcos(θ)), мы можем записать следующее уравнение:

Fсилы=mgcos(θ)

Подставим полученное уравнение для силы трения в уравнение равновесия и решим его относительно Fсилы:

Fтр,+Fсилы=0
μFн,+mgcos(θ)=0

Теперь рассмотрим систему, состоящую из лестницы и человека на ней. Обозначим массу человека как mчел и найдем силу, действующую вдоль лестницы (Fл) с учетом массы человека:

Fл=(m+mчел)gcos(θ)

Сила трения и сила, действующая на человека вследствие веса, образуют систему сил, создающих момент вокруг нижней точки лестницы. Этот момент должен быть равен нулю, чтобы предотвратить возможность вращения лестницы. Для этого применяется условие устойчивости:

M=FлL=0

Где L - длина лестницы. Так как условие устойчивости должно выполняться для всех точек на лестнице, то мы можем записать следующее уравнение:

(m+mчел)gcos(θ)L=0

Теперь, зная значение длины лестницы (L=2.50.2=2.3 м), значение угла (θ=30°), коэффициент трения (μ=0.25) и ускорение свободного падения (g=9.8 м/с2), мы можем решить полученное уравнение относительно массы человека (mчел):

(m+mчел)9.8cos(30°)2.3=0

Решив это уравнение, мы найдем значение массы человека, которое она не должна превышать, чтобы лестница не начала скользить. Давайте выполним вычисления:

(m+mчел)9.80.8662.3=0
(m+mчел)4.94=0
m+mчел=0

Таким образом, получаем, что масса человека (mчел) должна быть равной 0m=m.

Итак, масса человека не должна быть больше массы лестницы, т.е. mчелm, и в данной задаче ответ будет зависеть от массы лестницы. Ответ можно представить следующим образом: "Человек может подняться на любую ступень лестницы, если масса лестницы больше его собственной массы. Если масса лестницы меньше или равна массе человека, то лестница начнет скользить."

Цель данной задачи состоит в том, чтобы показать, как физические принципы (уравнение равновесия и условие устойчивости) взаимодействуют с другими физическими явлениями (трение) для определения условий, при которых лестница будет оставаться устойчивой или начнет скользить.