На какую ступень лестницы может подняться человек, прежде чем начнут скользить, если лестница длиной 2,5 метра

Plamennyy_Demon

15

Для того чтобы решить данную задачу, мы можем воспользоваться понятием момента силы трения и условием устойчивости.

Первым шагом рассчитаем силу трения, действующую между лестницей и полом. Формула для расчета силы трения выглядит следующим образом:

$$F_{тр}=\mu \cdot F_{н}$$

Где $F_{н}$ - нормальная сила, а $\mu$ - коэффициент трения. Так как сила трения может быть направлена только вдоль плоскости (горизонтально), то для нас будет интересна составляющая силы трения вдоль лестницы, которую обозначим как $F_{тр,\parallel }$.

$$F_{тр,\parallel }=\mu \cdot F_{н,\parallel }$$

Силу нормального давления ($F_{н,\parallel }$) мы можем рассчитать, использовав уравнение равновесия по горизонтали. Согласно этому уравнению, сумма горизонтальных составляющих сил равна нулю:

$$F_{гор}=F_{тр,\parallel }+F_{силы}$$

Сила, действующая вдоль лестницы ($F_{силы}$), равна проекции силы тяжести на горизонтальную плоскость. Зная, что сила тяжести равна массе, умноженной на ускорение свободного падения ($F_{тяж}=m\cdot g$), и что горизонтальная составляющая силы тяжести ($F_{гор}=F_{тяж}\cdot \cos (\theta )$), мы можем записать следующее уравнение:

$$F_{силы}=m\cdot g\cdot \cos (\theta )$$

Подставим полученное уравнение для силы трения в уравнение равновесия и решим его относительно $F_{силы}$:

$$F_{тр,\parallel }+F_{силы}=0$$
$$\mu \cdot F_{н,\parallel }+m\cdot g\cdot \cos (\theta )=0$$

Теперь рассмотрим систему, состоящую из лестницы и человека на ней. Обозначим массу человека как $m_{чел}$ и найдем силу, действующую вдоль лестницы ($F_{л}$) с учетом массы человека:

$$F_{л}=(m+m_{чел})\cdot g\cdot \cos (\theta )$$

Сила трения и сила, действующая на человека вследствие веса, образуют систему сил, создающих момент вокруг нижней точки лестницы. Этот момент должен быть равен нулю, чтобы предотвратить возможность вращения лестницы. Для этого применяется условие устойчивости:

$$M=F_{л}\cdot L=0$$

Где $L$ - длина лестницы. Так как условие устойчивости должно выполняться для всех точек на лестнице, то мы можем записать следующее уравнение:

$$(m+m_{чел})\cdot g\cdot \cos (\theta )\cdot L=0$$

Теперь, зная значение длины лестницы ($L=2.5-0.2=2.3$ м), значение угла ($\theta =30°$), коэффициент трения ($\mu =0.25$) и ускорение свободного падения ($g=9.8$ м/${с}^2$), мы можем решить полученное уравнение относительно массы человека ($m_{чел}$):

$$(m+m_{чел})\cdot 9.8\cdot \cos (30°)\cdot 2.3=0$$

Решив это уравнение, мы найдем значение массы человека, которое она не должна превышать, чтобы лестница не начала скользить. Давайте выполним вычисления:

$$(m+m_{чел})\cdot 9.8\cdot 0.866\cdot 2.3=0$$
$$(m+m_{чел})\cdot 4.94=0$$
$m+m_{чел}=0$

Таким образом, получаем, что масса человека ($m_{чел}$) должна быть равной $0-m=-m$.

Итак, масса человека не должна быть больше массы лестницы, т.е. $m_{чел}\le m$, и в данной задаче ответ будет зависеть от массы лестницы. Ответ можно представить следующим образом: "Человек может подняться на любую ступень лестницы, если масса лестницы больше его собственной массы. Если масса лестницы меньше или равна массе человека, то лестница начнет скользить."

Цель данной задачи состоит в том, чтобы показать, как физические принципы (уравнение равновесия и условие устойчивости) взаимодействуют с другими физическими явлениями (трение) для определения условий, при которых лестница будет оставаться устойчивой или начнет скользить.