Какова скорость, с которой магнитная индукция возрастает, если за 3 секунды в кольце выделяется 555 микроджоулей

Ivan

49

Для решения данной задачи воспользуемся законом электромагнитной индукции Фарадея, который утверждает, что ЭДС индукции в проводнике равна скорости изменения магнитного потока, проходимого через поверхность, ограниченную проводником. Формула для вычисления ЭДС индукции имеет вид:

\[\mathcal{E} = -\frac{{d\Phi}}{{dt}}\]

где \(\mathcal{E}\) - электродвижущая сила (ЭДС индукции), \(\Phi\) - магнитный поток.

Между магнитным потоком и магнитной индукцией (B) существует прямая связь, которая выражается формулой:

\(\Phi = B \cdot S \cdot \cos(\theta)\)

где \(S\) - площадь поперечного сечения проводника, \(\theta\) - угол между плоскостью поперечного сечения и линиями индукции магнитного поля.

Подставляя выражение для магнитного потока в формулу для ЭДС индукции, получим:

\(\mathcal{E} = -\frac{{d(B \cdot S \cdot \cos(\theta))}}{{dt}}\)

Теперь можем решить задачу. Для начала, найдем магнитный поток \(\Phi\). Поскольку линии индукции магнитного поля пересекают плоскость кольца под углом 60 градусов, то \(\cos(\theta) = \cos(60^\circ) = \frac{1}{2}\). Площадь поперечного сечения проводника (кольца) можно вычислить по формуле площади круга:

\[S = \pi r^2\]

где \(r\) - радиус кольца. Подставляя значения и упрощая выражение, получим:

\[\mathcal{E} = -\frac{{d(B \cdot \pi r^2 \cdot \frac{1}{2})}}{{dt}}\]

Далее, воспользуемся данными из условия задачи:
- Теплота \(Q\), выделяемая в кольце за время \(t\), связана с потерей энергии проводника через тепловое излучение и может быть выражена следующим образом:

\[Q = I^2Rt\]

где \(I\) - сила тока, протекающего в проводнике, \(R\) - сопротивление проводника, \(t\) - время. Разделим оба выражения на \(dt\), чтобы выразить производные:

\[\frac{{dQ}}{{dt}} = I^2R\]

Подставляя данное выражение в формулу для \(\mathcal{E}\), получаем:

\[-\frac{{d(B \cdot \pi r^2 \cdot \frac{1}{2})}}{{dt}} = I^2R\]

Раскроем скобки и уберем знак "-":

\[\frac{{d(B \cdot \pi r^2 \cdot \frac{1}{2})}}{{dt}} = -I^2R\]

Теперь выразим \(\frac{{dB}}{{dt}}\). Для этого найдем производную от \(B \cdot \pi r^2 \cdot \frac{1}{2}\):

\[\frac{{d(B \cdot \pi r^2 \cdot \frac{1}{2})}}{{dt}} = \frac{{d(B \cdot \pi r^2)}}{{dt}} \cdot \frac{1}{2}\]

Учитывая, что \(r\) - постоянная величина, производная от \(r^2\) по времени равна нулю. Получаем:

\[\frac{{d(B \cdot \pi r^2 \cdot \frac{1}{2})}}{{dt}} = \pi r^2 \cdot \frac{{dB}}{{dt}} \cdot \frac{1}{2}\]

Подставляем данный результат в предыдущее уравнение:

\[\pi r^2 \cdot \frac{{dB}}{{dt}} \cdot \frac{1}{2} = -I^2R\]

Теперь выразим \(\frac{{dB}}{{dt}}\):

\[\frac{{dB}}{{dt}} = -\frac{{2I^2R}}{{\pi r^2}}\]

Подставляем известные значения: \(I = \sqrt{\frac{Q}{Rt}}\), \(R = 0.16\), \(r = 0.2\), и получим:

\[\frac{{dB}}{{dt}} = -\frac{{2 \cdot (\sqrt{\frac{Q}{Rt}})^2 \cdot R}}{{\pi \cdot r^2}}\]

Упрощаем выражение:

\[\frac{{dB}}{{dt}} = -\frac{{2 \cdot Q}}{{\pi \cdot r^2 \cdot t}}\]

Подставляем известные значения: \(Q = 555 \cdot 10^{-6}\), \(r = 0.2\), \(t = 3\), и получим:

\[\frac{{dB}}{{dt}} = -\frac{{2 \cdot 555 \cdot 10^{-6}}}{{\pi \cdot (0.2)^2 \cdot 3}}\]

Теперь можем вычислить значение \(\frac{{dB}}{{dt}}\):

\[\frac{{dB}}{{dt}} = -\frac{{0.555}}{{0.12\pi}} \approx -1.445 \, \text{Тл/с}\]

Таким образом, скорость, с которой магнитная индукция возрастает, составляет около -1.445 Тл/с. Знак "-" указывает на убывание магнитной индукции во времени.