Какова скорость шарика у основания наклонной плоскости, если он начинает скользить без начальной скорости с высоты

Бельчонок

61

Для решения данной задачи нам необходимо использовать принцип сохранения механической энергии и принципы работы сил электростатики.

1. Вначале рассмотрим работу силы тяжести на шарик при спуске по наклонной плоскости. Работу силы можно вычислить по формуле:

\[A = mgh\]

где \(m\) - масса шарика (в килограммах), \(g\) - ускорение свободного падения (приближенно равно 9,8 м/с²), \(h\) - высота начальной точки спуска (в метрах).

Подставляя значения из условия задачи, получаем:

\[A = (41 \times 10^{-6}) \times 9,8 \times 3,0\]

\[A = 1,2 \times 10^{-3}\,Дж\]

2. Затем рассмотрим работу электростатических сил. Так как заряд шарика и заряд стационарного точечного заряда имеют разные знаки, эта работа будет отрицательной. Работа электростатической силы равна:

\[A = \frac{{k \cdot |q_1 \cdot q_2|}}{{r}}\]

где \(k\) - постоянная Кулона (\(k \approx 8,99 \times 10^9\, Н \cdot м^2/Кл^2\)), \(q_1\) и \(q_2\) - величины зарядов шарика и стационарного заряда соответственно (в Кулонах), и \(r\) - расстояние между зарядами (в метрах).

Подставляя значения из условия задачи, получаем:

\[A = \frac{{(8,99 \times 10^9) \cdot |(1,0 \times 10^{-6}) \cdot (2,0 \times 10^{-6})|}}{{0,025}}\]

\[A = -719,2 \,Дж\]

3. Теперь применим принцип сохранения механической энергии. Согласно этому принципу, сумма работ всех сил, действующих на тело, равна изменению его кинетической энергии. В нашем случае:

\[A_{\text{тяж}}} + A_{\text{эле}}} = \Delta K\]

где \(A_{\text{тяж}}} \) - работа силы тяжести, \(A_{\text{эле}}} \) - работа электростатической силы, и \(\Delta K\) - изменение кинетической энергии шарика.

Суммируя найденные значения работ, получаем:

\[(1,2 \times 10^{-3}) + (-719,2) = \Delta K\]

\[\Delta K = -718,0 \,Дж\]

4. Так как скорость шарика у основания наклонной плоскости равна его кинетической энергии, мы можем использовать формулу для кинетической энергии:

\[K = \frac{1}{2}mv^2\]

где \(m\) - масса шарика (в килограммах), а \(v\) - его скорость (в метрах в секунду).

Используя найденное значение изменения кинетической энергии, мы можем выразить скорость:

\[-718,0 = \frac{1}{2} \times (41 \times 10^{-6}) \times v^2\]

\[v^2 = \frac{-2 \times (-718,0)}{(41 \times 10^{-6})}\]

\[v^2 = 35,0\, м^2/с^2\]

\[v = \sqrt{35,0}\, м/с\]

\[v \approx 5,92\, м/с\]

Таким образом, скорость шарика у основания наклонной плоскости составляет примерно 5,92 м/с.