Какова сумма длин боковых сторон трапеции, если её средняя линия равна 31 и трапеция вписана окружностью?

Morskoy_Plyazh

15

Чтобы найти сумму длин боковых сторон трапеции, если ее средняя линия равна 31 и трапеция вписана окружностью, мы можем использовать знания о свойствах вписанных углов и окружностей. Давайте разберемся пошагово.

1. Сначала давайте вспомним определение средней линии трапеции. Средняя линия трапеции - это отрезок, соединяющий середины двух оснований. Известно, что длина средней линии равна 31.

2. Также, поскольку трапеция вписана окружностью, у нее есть несколько свойств. Одно из них - это то, что сумма углов, образованных диагоналями трапеции при их пересечении, равна 180 градусов.

3. Мы можем использовать это свойство, чтобы найти длину одной из диагоналей трапеции. Обозначим длину одной из диагоналей через \(d_1\). Тогда вторая диагональ будет иметь такую же длину, поскольку трапеция вписана окружностью.

4. Поскольку трапеция имеет симметричную форму, длина средней линии равна полусумме длин оснований. Обозначим длину одного из оснований через \(a\), а другого - через \(b\).

5. Используя свойство средней линии, мы можем записать следующее уравнение: \(\frac{{a + b}}{2} = 31\).

6. После преобразования уравнения мы получим \(a + b = 62\).

7. Чтобы найти длину диагонали \(d_1\), мы можем использовать теорему Пифагора для треугольника, образованного диагональю, средней линией и одной из боковых сторон трапеции. Поскольку боковая сторона равна \(a\) (так как трапеция симметрична), мы можем записать следующее уравнение: \(d_1^2 = 31^2 + a^2\).

8. Преобразуя уравнение, мы получаем \(d_1^2 = 961 + a^2\).

9. Аналогично, длина второй диагонали также будет равна \(d_2^2 = 961 + b^2\).

10. Поскольку трапеция вписана окружностью, длины диагоналей равны и могут быть обозначены как \(d\), поэтому \(d_1 = d\) и \(d_2 = d\).

11. Теперь мы можем записать уравнение для суммы длин боковых сторон трапеции: \(2(a + b) = 2(62) = 124\). Таким образом, сумма длин боковых сторон трапеции равна 124.

Итак, ответ: сумма длин боковых сторон трапеции равна 124.