Какова сумма длин катетов данного прямоугольного треугольника, если медиана, проведенная к гипотенузе, равна 5/4

Yabeda

30

Хорошо, давайте решим эту задачу.

Для начала, давайте вспомним некоторые свойства прямоугольного треугольника.

В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, делит ее на две равные части. То есть, если мы обозначим длину половины гипотенузы как \(x\), то длина медианы будет также равна \(x\).

С другой стороны, высота, проведенная к гипотенузе, делит ее на отрезки, пропорциональные катетам. Таким образом, мы можем сделать следующие выводы:

Пусть \(a\) и \(b\) - длины катетов данного прямоугольного треугольника, а \(c\) - длина гипотенузы.

Нам дано, что медиана равна \(\frac{5}{4}\), а высота равна \(\frac{6}{5}\).

Таким образом, мы можем записать следующую систему уравнений:

\[
\begin{align*}
x &= \frac{c}{2} \\
\frac{a \cdot b}{2} &= x \cdot \frac{c}{2} \\
a^2 + b^2 &= c^2 \\
\frac{a \cdot b}{2} &= \frac{5}{4} \\
\frac{a \cdot b}{2} &= \frac{6}{5}
\end{align*}
\]

Теперь давайте решим эту систему уравнений пошагово.

Шаг 1: Из первого уравнения выразим \(x\):

\[
x = \frac{c}{2}
\]

Шаг 2: Подставим \(x\) во второе уравнение:

\[
\frac{a \cdot b}{2} = \left(\frac{c}{2}\right) \cdot \frac{c}{2} = \frac{c^2}{4}
\]

Шаг 3: Из третьего уравнения выразим \(c\):

\[
c^2 = a^2 + b^2
\]

Шаг 4: Подставим выражение для \(c^2\) полученное на шаге 3 в уравнение с медианой:

\[
\frac{a \cdot b}{2} = \frac{c^2}{4} = \frac{(a^2 + b^2)}{4} = \frac{5}{4}
\]

Шаг 5: Подставим выражение для \(c^2\) полученное на шаге 3 в уравнение с высотой:

\[
\frac{a \cdot b}{2} = \frac{c^2}{4} = \frac{(a^2 + b^2)}{4} = \frac{6}{5}
\]

Теперь у нас есть система уравнений, состоящая из двух уравнений:

\[
\begin{align*}
\frac{a \cdot b}{2} &= \frac{5}{4} \\
\frac{a \cdot b}{2} &= \frac{6}{5}
\end{align*}
\]

Шаг 6: Решим эту систему уравнений методом подстановки.

Из первого уравнения получаем:

\[
a \cdot b = \frac{5}{2}
\]

Подставим это во второе уравнение:

\[
\frac{5}{2} = \frac{6}{5}
\]

Сокращаем доли на 2:

\[
\frac{5}{1} = \frac{6}{5}
\]

Умножаем дроби на 5:

\[
25 = 6
\]

Видим, что это уравнение не имеет решений. Возможно, в задаче допущена ошибка.

Если у вас есть другая задача или если вы хотите попробовать другую тему, пожалуйста, сообщите мне.