а) Какова сумма всех целых чисел, которые удовлетворяют данному неравенству? б) Какой остаток от деления на 2 оставляют

Schavel

30

Хорошо! Давайте решим эту задачу пошагово.

а) Неравенство, которое дано, звучит следующим образом: \(x \leq 100\). Мы хотим найти сумму всех целых чисел, которые удовлетворяют этому неравенству.

Для начала, давайте найдем все целые числа, которые меньше или равны 100. Это будут числа 1, 2, 3, ..., 99, 100.

Чтобы найти сумму всех этих чисел, мы можем использовать формулу для суммы арифметической прогрессии:

\[
S_n = \frac{{n \cdot (a_1 + a_n)}}{2}
\]

где \(S_n\) - сумма первых \(n\) членов прогрессии, \(a_1\) - первый член прогрессии, а \(a_n\) - последний член прогрессии.

В нашем случае, первый член прогрессии \(a_1 = 1\), последний член прогрессии \(a_n = 100\), а количество членов в прогрессии \(n = 100\).

Подставляем значения в формулу:

\[
S_{100} = \frac{{100 \cdot (1 + 100)}}{2} = \frac{{100 \cdot 101}}{2} = 5050
\]

Таким образом, сумма всех целых чисел, удовлетворяющих данному неравенству, равна 5050.

б) Теперь давайте найдем остаток от деления на 2 целочисленных решений данного неравенства.

Мы знаем, что все целые числа, которые удовлетворяют неравенству \(x \leq 100\), это числа 1, 2, 3, ..., 99, 100.

Чтобы найти остаток от деления на 2 каждого числа из этого списка, мы можем применить операцию "модуль" (остаток от деления) к каждому числу.

Операция "модуль" обозначается символом "%". Например, \(5 \% 2\) равно 1, потому что 5 делится на 2 нацело 2 раза, а остаток равен 1.

Применим операцию "модуль" к каждому числу из списка:

\[
\begin{align*}
1 &\% 2 = 1 \\
2 &\% 2 = 0 \\
3 &\% 2 = 1 \\
\ldots \\
99 &\% 2 = 1 \\
100 &\% 2 = 0 \\
\end{align*}
\]

Таким образом, остатки от деления на 2 всех целочисленных решений данного неравенства составляют последовательность: 1, 0, 1, 0, 1, ..., 0.

Важно отметить, что каждый второй остаток равен 0, а каждый другой - 1. Мы можем заметить, что остатки чередуются между 0 и 1.

Итак, остаток от деления на 2 целочисленных решений данного неравенства чередуется между 0 и 1.