Какова сумма наименьшего и наибольшего натуральных значений x, при которых выполняется неравенство 3/14 < x/28 < 5/12?

Hrustal

69

Чтобы решить данную задачу, мы должны найти наименьшее и наибольшее натуральные значения \(x\), при которых неравенство \(\frac{3}{14} < \frac{x}{28} < \frac{5}{12}\) выполняется.

Давайте рассмотрим каждое неравенство по отдельности и найдем значения \(x\), удовлетворяющие каждой части.

1. \(\frac{3}{14} < \frac{x}{28}\)
Для начала, давайте приведем дроби к общему знаменателю, умножив левую часть на 2 (или умножим на 28, оба варианта правильны):
\(\frac{3}{14} \cdot 2 < \frac{x}{28} \cdot 2\)
\(\frac{6}{14} < \frac{x}{28} \)
\(\frac{3}{7} < \frac{x}{28}\)

Приведем правую часть к общему знаменателю:
\(\frac{3}{7} < \frac{x}{28}\)
\(\frac{3 \cdot 4}{7 \cdot 4} < \frac{x}{28}\)
\(\frac{12}{28} < \frac{x}{28}\)
\(\frac{6}{14} < \frac{x}{28}\)
\(6 < x\)

Итак, мы получили, что неравенство выполняется при \(6 < x\).

2. \(\frac{x}{28} < \frac{5}{12}\)
Для начала, приведем дроби к общему знаменателю, умножив правую часть на 2 (или умножим на 12, оба варианта правильны):
\(\frac{x}{28} < \frac{5}{12} \cdot 2\)
\(\frac{x}{28} < \frac{5}{6}\)

Приведем левую часть к общему знаменателю:
\(\frac{x}{28} < \frac{5}{6}\)
\(\frac{x \cdot 6}{28 \cdot 6} < \frac{5}{6}\)
\(\frac{x}{\frac{28}{6}} < \frac{5}{6}\)
\(\frac{x}{\frac{14}{3}} < \frac{5}{6}\)
\(\frac{x}{\frac{14}{3}} < \frac{5}{\frac{6}{1}}\)
\(\frac{x}{\frac{14}{3}} < \frac{5 \cdot 1}{\frac{6}{1}}\)
\(\frac{x}{\frac{14}{3}} < \frac{5 \cdot 1}{\frac{6}{1}}\)
\(\frac{x}{\frac{14}{3}} < \frac{5 \cdot 1}{\frac{6}{1}}\)
\(\frac{x}{\frac{14}{3}} < \frac{5 \cdot 1}{\frac{6}{1}}\)
\(\frac{x}{\frac{14}{3}} < \frac{5 \cdot 1}{\frac{6}{1}}\)
\(\frac{x}{\frac{14}{3}} < \frac{5 \cdot 3}{\frac{6}{1}}\)
\(\frac{x}{\frac{14}{3}} < \frac{5 \cdot 3}{2 \cdot 3}\)
\(\frac{x}{\frac{14}{3}} < \frac{15}{6}\)
\(\frac{x}{\frac{2 \cdot 7}{3}} < \frac{15}{6}\)
\(\frac{x}{\frac{2 \cdot 7}{3}} < \frac{15}{\frac{6}{1}}\)
\(\frac{x}{\frac{2 \cdot 7}{3}} < \frac{15 \cdot 1}{\frac{6}{1}}\)
\(\frac{x}{\frac{2 \cdot 7}{3}} < \frac{15 \cdot 1}{\frac{6}{1}}\)
\(\frac{x}{\frac{2 \cdot 7}{3}} < \frac{15 \cdot 1}{\frac{6}{1}}\)
\(\frac{x}{\frac{2 \cdot 7}{3}} < \frac{15 \cdot 1}{\frac{6}{1}}\)
\(\frac{x}{\frac{\not{2} \cdot 7}{3}} < \frac{15}{\frac{\not{6}}{1}}\)
\(\frac{x}{\frac{7}{3}} < \frac{15}{1}\)
\(\frac{3 \cdot x}{\frac{3 \cdot 7}{3}} < 15\)
\(\frac{3x}{7} < 15\)
\(3x < 105\)
\(x < 35\)

Итак, мы получили, что неравенство выполняется при \(x < 35\).

Теперь найдем сумму наименьшего и наибольшего значения \(x\).
Наименьшее значение \(x\) равно 7, так как это наименьшее натуральное число, удовлетворяющее первому неравенству (\(6 < x\)).
Наибольшее значение \(x\) равно 34, так как это наибольшее натуральное число, удовлетворяющее второму неравенству (\(x < 35\)).

Таким образом, сумма наименьшего и наибольшего значений \(x\) равна 7 + 34 = 41.