Какова сумма всех целых чисел n, для которых значение выражения n^4 - 15n^2 + 25 равно простому числу? Если таких чисел

Муравей

49

Хорошо, давайте посмотрим на данную задачу.

Для начала, давайте обратим внимание на выражение \(n^4 - 15n^2 + 25\). Мы хотим найти целые числа \(n\), для которых это выражение равно простому числу.

Чтобы решить эту задачу, давайте рассмотрим несколько случаев.

Отметим, что данное выражение можно переписать как \((n^2 - 5)^2\). Теперь, если значение этого выражения равно простому числу, то оно может быть равно \(1\) или \((-1)\), так как эти числа также являются простыми.

Если мы рассмотрим случай, когда \((n^2 - 5)^2 = 1\), то возможны два варианта:

1. \(n^2 - 5 = 1\). В этом случае мы получаем \(n^2 = 6\), что не имеет решений в целых числах.

2. \(n^2 - 5 = -1\). В этом случае мы получаем \(n^2 = 4\), что имеет два решения: \(n = 2\) и \(n = -2\).

Теперь рассмотрим случай, когда \((n^2 - 5)^2 = -1\). Данное уравнение не имеет решений в целых числах, так как квадрат числа не может быть отрицательным.

Итак, мы рассмотрели все возможные случаи и пришли к выводу, что существуют только два целых числа \(n\), для которых значение выражения равно простому числу. Это числа \(n = 2\) и \(n = -2\).

Таким образом, сумма всех целых чисел \(n\) будет равна \(2 + (-2) = 0\).

Ответ: Сумма всех целых чисел \(n\), для которых значение выражения \(n^4 - 15n^2 + 25\) равно простому числу, равна \(0\).