Какова сумма всех возможных значений m, при которых векторы a ̅(m + 1; 1; -1; ) и b ̅(m; -m; -2m+3) являются

Евгений

11

Для того чтобы векторы a ̅(m + 1, 1, -1) и b ̅(m, -m, -2m+3) были перпендикулярными, их скалярное произведение должно быть равно нулю. Скалярное произведение векторов a ̅ и b ̅ определяется следующим образом:

\[
a ̅ \cdot b ̅ = (m + 1) \cdot m + 1 \cdot (-m) + (-1) \cdot (-2m+3)
\]

Раскрывая скобки и объединяя подобные слагаемые, получаем:

\[
(m + 1) \cdot m - m + 2m - 3 = m^2 + 2m - m + 2m - 3 = m^2 + 4m - 3
\]

Теперь нам нужно приравнять это выражение к нулю:

\[
m^2 + 4m - 3 = 0
\]

Это квадратное уравнение. Чтобы найти значения m, удовлетворяющие этому уравнению, мы можем воспользоваться формулой дискриминанта:

\[
D = b^2 - 4ac
\]

где a = 1, b = 4 и c = -3. Подставляя значения в формулу, получаем:

\[
D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 16 + 12 = 28
\]

Теперь, используя формулы для нахождения корней квадратного уравнения, мы можем получить следующие значения m:

\[
m = \frac{{-b + \sqrt{D}}}{{2a}} \quad \text{или} \quad m = \frac{{-b - \sqrt{D}}}{{2a}}
\]

Подставляя значения a, b, c и D, получаем:

\[
m = \frac{{-4 + \sqrt{28}}}{{2}} \quad \text{или} \quad m = \frac{{-4 - \sqrt{28}}}{{2}}
\]

Упрощая, получаем:

\[
m = \frac{{-4 + 2\sqrt{7}}}{{2}} \quad \text{или} \quad m = \frac{{-4 - 2\sqrt{7}}}{{2}}
\]

Далее, упрощая выражения, получаем:

\[
m = -2 + \sqrt{7} \quad \text{или} \quad m = -2 - \sqrt{7}
\]

Таким образом, сумма всех возможных значений m, при которых векторы a ̅ и b ̅ являются перпендикулярными, равна:

\[
(-2 + \sqrt{7}) + (-2 - \sqrt{7}) = -4
\]