Какова температура нагревателя в идеальной тепловой машине, если 2/3 теплоты, полученной от нагревателя, передается

Ян_2994

55

Для решения этой задачи нам понадобится знание о коэффициенте Карно и термодинамическом цикле. В идеальной тепловой машине тепловой двигатель работает по термодинамическому циклу Карно, который состоит из двух изотермических процессов и двух адиабатических процессов.

Давайте рассмотрим каждый шаг термодинамического цикла Карно и используем соответствующие формулы. Первый изотермический процесс происходит при взаимодействии нагревателя с рабочим телом, а второй изотермический процесс — при взаимодействии холодильника с рабочим телом.

Пусть \(T_h\) обозначает температуру нагревателя, \(T_c\) — температуру холодильника, \(Q_h\) — теплоту, полученную от нагревателя, и \(Q_c\) — теплоту, отданную холодильнику.

В данной задаче сказано, что 2/3 теплоты, полученной от нагревателя (\(Q_h\)), передается рабочему телу. То есть \(Q_h \cdot \frac{2}{3}\) переходит в рабочее тело, а оставшаяся часть (\(Q_h \cdot \frac{1}{3}\)) переходит в холодильник. Теплота, отдаваемая холодильнику, должна быть равна количеству теплоты, полученной от нагревателя, поскольку в идеальной тепловой машине тепловой баланс сохраняется.

Формулы для изотермических процессов термодинамического цикла Карно таковы:

\[Q_h = nRT_h \ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right)\]
\[Q_c = nRT_c \ln\left(\frac{V_4}{V_3}\right)\]

Где:
\(n\) — количество вещества газа (предположим, что это постоянное значение),
\(R\) — универсальная газовая постоянная,
\(V_1\) и \(V_2\) — объемы газа на начальном и конечном этапах первого изотермического процесса,
\(V_3\) и \(V_4\) — объемы газа на начальном и конечном этапах второго изотермического процесса.

Так как холодильник имеет температуру 0°C, то можно считать \(T_c\) равным 273 К (поскольку термодинамическая шкала в рабочей среде основана на абсолютной шкале Кельвина).

Используя полученные выше формулы для изотермических процессов, мы можем записать выражения для \(Q_h\) и \(Q_c\):

\[Q_h = nRT_h \ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right)\]
\[Q_c = nRT_c \ln\left(\frac{V_4}{V_3}\right)\]

Так как \(\frac{Q_c}{Q_h} = \frac{1}{3}\), то мы можем записать:

\[\frac{nRT_c \ln\left(\frac{V_4}{V_3}\right)}{nRT_h \ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right)} = \frac{1}{3}\]

Отсюда можно выразить отношение температур нагревателя и холодильника:

\[\frac{T_c}{T_h} = \frac{\ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right)}{3\ln\left(\frac{V_4}{V_3}\right)}\]

Для идеальной тепловой машины \(V_2\), \(V_1\), \(V_4\) и \(V_3\) это объемы газа на различных этапах процессов. Поскольку эти значения неизвестны, мы не можем найти конкретное численное значение для отношения температур цикла. Однако мы можем определить, что отношение температур должно быть меньше единицы (так как \(\frac{Q_c}{Q_h} = \frac{1}{3}\)), и что температура холодильника (\(T_c\)) равна 0°C или 273 К.

Итак, ответ на вашу задачу состоит в том, что мы не можем найти конкретную температуру нагревателя (\(T_h\)), но мы знаем, что она должна быть выше температуры холодильника (\(T_c\)).