Как найти значение угла α в задаче, где два шара массами m1 и m2 подвешены на нитях длиной l? При первоначальном

Vsevolod

22

Для обоснованного нахождения значения угла α в данной задаче, давайте рассмотрим несколько важных физических законов и применим их к данной ситуации.

1. Закон сохранения импульса.
После абсолютно упругого удара второй шар приобретает скорость $U_2$, а первый шар начинает движение вверх и поднимается на высоту $h_1$. Из закона сохранения импульса следует, что импульс системы, состоящей из двух шаров, должен оставаться неизменным до и после столкновения. Если обозначить скорости первого и второго шаров до столкновения как $V_1$ и $V_2$ соответственно, то мы можем записать:
$$m_1{V}_1+m_2{V}_2=m_1{U}_1+m_2{U}_2$$
где $U_1$ - скорость первого шара после столкновения.

2. Закон сохранения механической энергии.
После столкновения первый шар поднимается на высоту $h_1$ и второй шар поднимается на высоту $h_2$. Между начальной и конечной энергией системы должно сохраняться равенство. Таким образом, используя начальные скорости и высоту шаров перед и после столкновения, мы можем записать:
$$m_{1}g(0)+m_{2}g(0)+\frac{1}{2}{m}_1{V}_1^2+\frac{1}{2}{m}_2{V}_2^2=m_{1}g(h_1)+m_{2}g(h_2)$$
где $g$ - ускорение свободного падения.

3. Параметры треугольника.
Отношение высоты h1 к длине нити l, синуса угла α и противолежащего катета l описывается следующим соотношением:
$$\sin (\alpha )=\frac{h_1}{l}$$

Используя эти три физических закона, мы можем составить систему уравнений. Подставим уже известные значения:
$$0.5\cdot 9.81+0.3\cdot 9.81+\frac{1}{2}\cdot 0.5\cdot V_1^2+\frac{1}{2}\cdot 0.3\cdot V_2^2=0.5\cdot 9.81\cdot 0.05+0.3\cdot 9.81\cdot 0.1$$
$$0.05\sin (\alpha )=0.05$$
$$0.735+0.147V_1^2+0.0882V_2^2=0.4905+0.2943$$
$$V_1+V_2=0.5U_1+0.3U_2$$

Далее, мы можем решить эту систему уравнений для нахождения значений скоростей и угла α. Для удобства, преобразуем первое уравнение:
$$0.146V_1^2+0.0882V_2^2=0.0495$$
$$1.66V_1^2+1.0V_2^2=0.55$$

Теперь мы имеем систему из трех уравнений, которую можно решить численно или с помощью компьютера для нахождения значений скоростей и угла α.