Какова величина изменения импульса частицы за интервал времени t(тау), если частица движется в плоскости

Молния_5418

24

Чтобы найти изменение импульса частицы за интервал времени \( t \), мы должны вычислить интеграл от силы \( F(t) \) по времени от начального момента \( t = 0 \) до конечного момента \( t = \tau \).

Итак, начнем с выражения силы \( F(t) = i \cdot a \cdot \left(\frac{t}{\tau}\right)^8 + j \cdot b \cdot \left(\frac{t}{\tau}\right)^4 \), где \( i \) и \( j \) - единичные векторы, \( a \) и \( b \) - постоянные величины, а \( \tau \) - интервал времени.

Теперь, чтобы найти импульс \( p(t) \) частицы в момент времени \( t \), мы должны проинтегрировать \( F(t) \) по времени:

\[ p(t) = \int_{0}^{t} F(t") dt" \]

Для удобства вычислений разобъем интеграл на два частных:

\[ p(t) = \int_{0}^{t} i \cdot a \cdot \left(\frac{t"}{\tau}\right)^8 dt" + \int_{0}^{t} j \cdot b \cdot \left(\frac{t"}{\tau}\right)^4 dt" \]

Теперь проинтегрируем каждое слагаемое по отдельности:

\[ p(t) = i \cdot a \cdot \int_{0}^{t} \left(\frac{t"}{\tau}\right)^8 dt" + j \cdot b \cdot \int_{0}^{t} \left(\frac{t"}{\tau}\right)^4 dt" \]

Проинтегрируем первое слагаемое:

\[ p(t) = i \cdot a \cdot \left[ \frac{{t"}}{\tau} \cdot \frac{1}{9} \cdot \left(\frac{t"}{\tau}\right)^7 \right]_{0}^{t} + j \cdot b \cdot \int_{0}^{t} \left(\frac{t"}{\tau}\right)^4 dt" \]

\[ p(t) = i \cdot a \cdot \frac{t}{9\tau} \cdot \left(\frac{t}{\tau}\right)^7 - i \cdot a \cdot \frac{0}{9\tau} \cdot \left(\frac{0}{\tau}\right)^7 + j \cdot b \cdot \int_{0}^{t} \left(\frac{t"}{\tau}\right)^4 dt" \]

\[ p(t) = i \cdot a \cdot \frac{t}{9\tau} \cdot \left(\frac{t}{\tau}\right)^7 + j \cdot b \cdot \int_{0}^{t} \left(\frac{t"}{\tau}\right)^4 dt" \]

Теперь проинтегрируем второе слагаемое:

\[ p(t) = i \cdot a \cdot \frac{t}{9\tau} \cdot \left(\frac{t}{\tau}\right)^7 + j \cdot b \cdot \left[ \frac{{t"}}{\tau} \cdot \frac{1}{5} \cdot \left(\frac{t"}{\tau}\right)^3 \right]_{0}^{t} \]

\[ p(t) = i \cdot a \cdot \frac{t}{9\tau} \cdot \left(\frac{t}{\tau}\right)^7 + j \cdot b \cdot \frac{t}{5\tau} \cdot \left(\frac{t}{\tau}\right)^3 - j \cdot b \cdot \frac{0}{5\tau} \cdot \left(\frac{0}{\tau}\right)^3 \]

\[ p(t) = i \cdot a \cdot \frac{t}{9\tau} \cdot \left(\frac{t}{\tau}\right)^7 + j \cdot b \cdot \frac{t}{5\tau} \cdot \left(\frac{t}{\tau}\right)^3 \]

Таким образом, получаем выражение для импульса частицы:

\[ p(t) = i \cdot a \cdot \frac{t}{9\tau} \cdot \left(\frac{t}{\tau}\right)^7 + j \cdot b \cdot \frac{t}{5\tau} \cdot \left(\frac{t}{\tau}\right)^3 \]

Теперь, чтобы найти изменение импульса \( \Delta p \) за интервал времени \( t = \tau \), нужно вычислить разность между импульсом в конечный момент времени и импульсом в начальный момент времени:

\[ \Delta p = p(\tau) - p(0) \]

\[ \Delta p = i \cdot a \cdot \frac{\tau}{9\tau} \cdot \left(\frac{\tau}{\tau}\right)^7 + j \cdot b \cdot \frac{\tau}{5\tau} \cdot \left(\frac{\tau}{\tau}\right)^3 - p(0) \]

\[ \Delta p = i \cdot a \cdot \frac{1}{9} + j \cdot b \cdot \frac{1}{5} - p(0) \]

Исходя из начальных условий, когда \( t = 0 \), импульс \( p(0) \) равен нулю:

\[ \Delta p = i \cdot a \cdot \frac{1}{9} + j \cdot b \cdot \frac{1}{5} - 0 \]

Таким образом, величина изменения импульса частицы за интервал времени \( t = \tau \) равна:

\[ \Delta p = i \cdot a \cdot \frac{1}{9} + j \cdot b \cdot \frac{1}{5} \]

Данный ответ дает полное пошаговое решение задачи, учитывая все формулы и предположения, используемые в процессе решения.