Какова вероятность, что из пяти случайно выбранных студентов группы, не менее двух будут отличниками, если в среднем

Звук_102

6

Для решения данной задачи воспользуемся понятием биномиального распределения.

Вероятность того, что из пяти случайно выбранных студентов группы будет некоторое определенное количество отличников, может быть найдена с использованием формулы биномиального распределения:

\[P(X=k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\]

где \(n\) - количество испытаний (в данном случае студентов), \(k\) - количество успехов (отличников), \(p\) - вероятность успеха (доля отличников в группе) и \(\binom{n}{k}\) - число сочетаний из \(n\) по \(k\).

Вероятность того, что не менее двух студентов из пяти будут отличниками, можно найти суммируя вероятности для случаев, когда количество отличников равно 2, 3, 4 и 5:

\[P(X \geq 2) = P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) + P(X=5)\]

Теперь подставим значения в формулу. В данной задаче \(n=5\), \(p=0.1\), так как 10% студентов являются отличниками.

\[P(X=2) = \binom{5}{2} \cdot 0.1^2 \cdot 0.9^3\]
\[P(X=3) = \binom{5}{3} \cdot 0.1^3 \cdot 0.9^2\]
\[P(X=4) = \binom{5}{4} \cdot 0.1^4 \cdot 0.9^1\]
\[P(X=5) = \binom{5}{5} \cdot 0.1^5 \cdot 0.9^0\]

Рассчитаем каждую вероятность отдельно:

\[\binom{5}{2} = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10\]
\[\binom{5}{3} = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10\]
\[\binom{5}{4} = \frac{5!}{4!(5-4)!} = \frac{5!}{4!1!} = \frac{5}{1} = 5\]
\[\binom{5}{5} = \frac{5!}{5!(5-5)!} = \frac{5!}{5!0!} = \frac{1}{1} = 1\]

Подставим полученные значения и рассчитаем вероятности:

\[P(X=2) = 10 \cdot 0.1^2 \cdot 0.9^3 \approx 0.0729\]
\[P(X=3) = 10 \cdot 0.1^3 \cdot 0.9^2 \approx 0.0081\]
\[P(X=4) = 5 \cdot 0.1^4 \cdot 0.9^1 \approx 0.00045\]
\[P(X=5) = 1 \cdot 0.1^5 \cdot 0.9^0 \approx 0.00001\]

Теперь найдем сумму данных вероятностей для получения ответа:

\[P(X \geq 2) = P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) \approx 0.0729 + 0.0081 + 0.00045 + 0.00001 \approx 0.08146\]

Итак, вероятность того, что из пяти случайно выбранных студентов группы не менее двух будут отличниками, составляет примерно 0.08146 или 8.146%.