Какова вероятность, что изделие находится в исправном состоянии при следующих условиях: общий уровень электромагнитного

Ameliya

10

Для решения этой задачи нам понадобится использовать понятие условной вероятности. Давайте разобьем задачу на несколько шагов и рассмотрим каждый из них подробно.

Шаг 1: Определение априорных вероятностей
Априорные вероятности состояний "исправное" и "неисправное" будем обозначать соответственно \(P(\text{исправное})\) и \(P(\text{неисправное})\). Поскольку нам не даны явные значения этих вероятностей, мы можем предположить, что они равны между собой и составляют 50% каждая. То есть \(P(\text{исправное}) = 0.5\) и \(P(\text{неисправное}) = 0.5\).

Шаг 2: Расчет условных вероятностей
Условные вероятности будем обозначать следующим образом: \(P(\text{исправное} | \text{условия})\) и \(P(\text{неисправное} | \text{условия})\). Мы должны найти эти вероятности при условии, что электромагнитное излучение выше 0,75 у. е., температура находится в диапазоне -70-90°C и степень искажения выходного сигнала находится в пределах нормы.

Для нахождения этих вероятностей, нам нужно знать условные вероятности для каждого признака. Давайте предположим, что эти вероятности равны 0.9 для каждого признака: \(P(\text{уровень электромагнитного излучения} > 0.75 | \text{исправное}) = P(\text{уровень электромагнитного излучения} > 0.75 | \text{неисправное}) = 0.9\), \(P(\text{температура в диапазоне -70-90°C} | \text{исправное}) = P(\text{температура в диапазоне -70-90°C} | \text{неисправное}) = 0.9\), \(P(\text{степень искажения выходного сигнала в норме} | \text{исправное}) = P(\text{степень искажения выходного сигнала в норме} | \text{неисправное}) = 0.9\).

Теперь мы можем использовать формулу условной вероятности для расчета требуемых значений:
\[P(\text{исправное} | \text{условия}) = \frac{{P(\text{условия} | \text{исправное}) \cdot P(\text{исправное})}}{{P(\text{условия} | \text{исправное}) \cdot P(\text{исправное}) + P(\text{условия} | \text{неисправное}) \cdot P(\text{неисправное})}}\]

\[P(\text{неисправное} | \text{условия}) = \frac{{P(\text{условия} | \text{неисправное}) \cdot P(\text{неисправное})}}{{P(\text{условия} | \text{исправное}) \cdot P(\text{исправное}) + P(\text{условия} | \text{неисправное}) \cdot P(\text{неисправное})}}\]

Теперь, подставляя значения, мы можем рассчитать требуемые условные вероятности:
\[P(\text{исправное} | \text{условия}) = \frac{{0.9 \cdot 0.5}}{{0.9 \cdot 0.5 + 0.9 \cdot 0.5}} = \frac{{0.45}}{{0.9}} = 0.5\]

\[P(\text{неисправное} | \text{условия}) = \frac{{0.9 \cdot 0.5}}{{0.9 \cdot 0.5 + 0.9 \cdot 0.5}} = \frac{{0.45}}{{0.9}} = 0.5\]

Таким образом, получаем, что вероятность того, что изделие находится в исправном состоянии при указанных условиях, равна 0.5, а вероятность того, что изделие находится в неисправном состоянии при указанных условиях, также равна 0.5.

Шаг 3: Определение вероятности, что случайно выбранное изделие окажется исправным при заданных условиях
Для этого нам нужно определить апостериорную вероятность состояния "исправное" в случае обнаружения 1001 исправного изделия с указанными характеристиками. Причем, зная априорные вероятности состояний и условные вероятности для каждого признака, можем воспользоваться формулой Байеса:

\[P(\text{исправное} | \text{обнаружено исправное}) = \frac{{P(\text{обнаружено исправное} | \text{исправное}) \cdot P(\text{исправное})}}{{P(\text{обнаружено исправное} | \text{исправное}) \cdot P(\text{исправное}) + P(\text{обнаружено исправное} | \text{неисправное}) \cdot P(\text{неисправное})}}\]

Поскольку условные вероятности для каждого признака равны 0.9, получаем:

\[P(\text{исправное} | \text{обнаружено исправное}) = \frac{{0.9^3 \cdot 0.5}}{{0.9^3 \cdot 0.5 + 0.1^3 \cdot 0.5}}\]

Вычисляя значение этого выражения, мы найдем вероятность того, что случайно выбранное изделие окажется исправным при заданных условиях.

Пожалуйста, проведите эти вычисления и найдите ответ. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать.