Какова вероятность, что скалярное произведение вектора а=(x,y,z) на вектор b=(2,1,1) на интервале (0,1) будет a) меньше

Пламенный_Змей

54

Для решения данной задачи по вероятности, необходимо использовать свойства скалярного произведения векторов и методы работы с интервалами.

Сначала рассмотрим вариант задачи a) - когда требуется найти вероятность того, что скалярное произведение будет меньше единицы.

Для скалярного произведения векторов \(\textbf{а}\) и \(\textbf{b}\) справедливо следующее выражение:
\(\textbf{а} \cdot \textbf{b} = x \cdot 2 + y \cdot 1 + z \cdot 1 = 2x + y + z\)

Мы знаем, что все компоненты вектора \(\textbf{b}\) положительные, поэтому, чтобы скалярное произведение было меньше единицы, каждая компонента вектора \(\textbf{а}\) должна быть меньше единицы.

Таким образом, для выполнения условия \(\textbf{а} \cdot \textbf{b} < 1\) необходимо выполнение следующих неравенств:

\(2x + y + z < 1\)
\(0 < x < 1\)
\(0 < y < 1\)
\(0 < z < 1\)

Теперь перейдём к задаче b) - когда требуется найти вероятность того, что скалярное произведение будет меньше двух.

Подставим значения компонент вектора \(\textbf{а}\) в выражение для скалярного произведения и получим:
\(2x + y + z\)

Мы хотим, чтобы это значение было меньше двух. Запишем это как неравенство:
\(2x + y + z < 2\)

Это неравенство выполняется, если каждая компонента вектора \(\textbf{а}\) меньше двух:

\(0 < x < 2\)
\(0 < y < 2\)
\(0 < z < 2\)

Таким образом, чтобы скалярное произведение было меньше двух, компоненты вектора \(\textbf{а}\) должны удовлетворять указанным неравенствам.

Осталось найти вероятность для каждого случая, учитывая интервал (0,1).

Поскольку каждая компонента вектора \(\textbf{а}\) находится в интервале (0,1), вероятность выбора каждой компоненты вектора \(\textbf{а}\) равна \(P(x) = P(y) = P(z) = \frac{1}{1-0} = 1\).

Так как независимые события мы умножим вероятности каждой компоненты вектора \(\textbf{а}\), чтобы получить общую вероятность.

Таким образом, общая вероятность того, что скалярное произведение будет меньше единицы, составляет:
\(P_{\text{a)}} = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1\)
а вероятность того, что скалярное произведение будет меньше двух, составляет:
\(P_{\text{b)}} = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1\)

То есть, вероятность в обоих задачах равна единице.