Какова вероятность обнаружения цели в угловом секторе x радан, если ее появление равновероятно во всех направлениях

Laki

33

Данная задача относится к теории вероятностей и связана с случайным распределением точки в угловом секторе. Чтобы найти вероятность обнаружения цели в угловом секторе \(x\) радиан, при заданных условиях, мы можем использовать геометрическую и вероятностную интерпретации.

Предположим, что угол, под которым можно обнаружить цель, является случайной величиной \(Y\), принимающей значения от 0 до \(2\pi\) (полный оборот). По условию, данная случайная величина распределена равномерно, так как цель может появиться равновероятно во всех направлениях.

Теперь задача сводится к тому, чтобы найти вероятность того, что случайная величина \(Y\) будет попадать в угловой сектор \(x\) радиан. Для этого мы должны определить долю длины окружности (полного оборота) \(2\pi\) радиана в угловом секторе \(x\) радиан.

Рассмотрим геометрическую интерпретацию. Угловой сектор можно представить в виде части окружности радиусом \(r\) (радиус локатора), которая пересекает общую окружность (полный оборот) радиусом \(r\) в двух точках. Таким образом, длина углового сектора составляет \(x\) долей длины полного оборота.

Формула для вычисления вероятности в данной задаче будет следующей:

\[
P(Y \leq x) = \frac{x}{2\pi}
\]

Таким образом, вероятность обнаружения цели в угловом секторе \(x\) радиан будет равна \(\frac{x}{2\pi}\).

Данное решение основано на предположении о равномерном распределении по всем направлениям и горизонтальном перемещении луча локатора с постоянной угловой скоростью. Также заметим, что вероятность не может превышать 1, поэтому при \(x > 2\pi\) вероятность будет равна 1, так как сектор полностью охватывает весь полный оборот.