Какова вероятность появления определенного количества растений из 5 семян, если вероятность их всхожести составляет

Светлячок_В_Ночи

52

Чтобы решить эту задачу, мы будем использовать биномиальное распределение, так как здесь мы имеем фиксированное количество испытаний (посев семян) и два возможных исхода для каждого испытания (растение появилось или не появилось).

Пусть X будет случайной величиной, представляющей количество растений, которое появилось из 5 семян. В данной задаче нам нужно найти вероятность появления определенного количества растений.

Формула для вероятности в биномиальном распределении выглядит следующим образом:

\[P(X=k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\]

где:
- \(\binom{n}{k}\) обозначает количество комбинаций из n элементов, выбранных k элементами (это сочетания);
- k - количество растений, которые появились;
- p - вероятность появления растения в каждом испытании (0.6 в данном случае);
- n - общее количество испытаний (5 семян).

Давайте посчитаем вероятность для каждого значения k (0, 1, 2, 3, 4, 5):

\[P(X=0) = \binom{5}{0} \cdot 0.6^0 \cdot (1-0.6)^{5-0}\]
\[P(X=1) = \binom{5}{1} \cdot 0.6^1 \cdot (1-0.6)^{5-1}\]
\[P(X=2) = \binom{5}{2} \cdot 0.6^2 \cdot (1-0.6)^{5-2}\]
\[P(X=3) = \binom{5}{3} \cdot 0.6^3 \cdot (1-0.6)^{5-3}\]
\[P(X=4) = \binom{5}{4} \cdot 0.6^4 \cdot (1-0.6)^{5-4}\]
\[P(X=5) = \binom{5}{5} \cdot 0.6^5 \cdot (1-0.6)^{5-5}\]

Рассчитаем значения:

\[P(X=0) = \binom{5}{0} \cdot 0.6^0 \cdot (1-0.6)^{5-0} = 1 \cdot 1 \cdot 0.4^5 = 0.4^5 = 0.01024\]
\[P(X=1) = \binom{5}{1} \cdot 0.6^1 \cdot (1-0.6)^{5-1} = 5 \cdot 0.6^1 \cdot 0.4^4 = 0.1536\]
\[P(X=2) = \binom{5}{2} \cdot 0.6^2 \cdot (1-0.6)^{5-2} = 10 \cdot 0.6^2 \cdot 0.4^3 = 0.3456\]
\[P(X=3) = \binom{5}{3} \cdot 0.6^3 \cdot (1-0.6)^{5-3} = 10 \cdot 0.6^3 \cdot 0.4^2 = 0.3456\]
\[P(X=4) = \binom{5}{4} \cdot 0.6^4 \cdot (1-0.6)^{5-4} = 5 \cdot 0.6^4 \cdot 0.4^1 = 0.1536\]
\[P(X=5) = \binom{5}{5} \cdot 0.6^5 \cdot (1-0.6)^{5-5}= 1 \cdot 0.6^5 \cdot 0.4^0 = 0.01024\]

То есть вероятности для k = 0, 1, 2, 3, 4, 5 соответственно равны: 0.01024, 0.1536, 0.3456, 0.3456, 0.1536, 0.01024.

Ожидание случайной величины можно найти по формуле:

\[E(X) = n \cdot p\]

\[E(X) = 5 \cdot 0.6 = 3\]

Таким образом, ожидание данной случайной величины составляет 3.

Дисперсию можно найти по формуле:

\[Var(X) = n \cdot p \cdot (1-p)\]

\[Var(X) = 5 \cdot 0.6 \cdot (1-0.6) = 1.2 \cdot 0.4 = 0.48 \]

Таким образом, дисперсия данной случайной величины составляет 0.48.